Dubbio dimostrazione criterio di leibniz
ciao a tutti,
il mio dubbio riguarda il dimostrare che la somma parziale a termini pari è crescente, e quella a termini dispari è decrescente:
infatti $s_(2m)=a_1-a_2+a_3-a_4+...+a_(2m-1)-a_(2m)$
possiamo scriverla come $s_(2m)=(a_1-a_2)+(a_3-a_4)+...+(a_(2m-1)-a_(2m))$
E' somma di termini positivi, poiche per ipotesi la successione e decrescente quindi:
$s_(2m)>0$ da questo posso già dire che la somma parziale a termini pari è cresscente?
La somma parziale a termini dispari è:
$s_(2m+1)=a_1-(a_2-a_3)-...-(a_(2m)-a_(2m+1))$ da cosa capisco chè decresce?
il mio dubbio riguarda il dimostrare che la somma parziale a termini pari è crescente, e quella a termini dispari è decrescente:
infatti $s_(2m)=a_1-a_2+a_3-a_4+...+a_(2m-1)-a_(2m)$
possiamo scriverla come $s_(2m)=(a_1-a_2)+(a_3-a_4)+...+(a_(2m-1)-a_(2m))$
E' somma di termini positivi, poiche per ipotesi la successione e decrescente quindi:
$s_(2m)>0$ da questo posso già dire che la somma parziale a termini pari è cresscente?
La somma parziale a termini dispari è:
$s_(2m+1)=a_1-(a_2-a_3)-...-(a_(2m)-a_(2m+1))$ da cosa capisco chè decresce?
Risposte
"eos.s":
ciao a tutti,
il mio dubbio riguarda il dimostrare che la somma parziale a termini pari è crescente, e quella a termini dispari è decrescente:
infatti $s_(2m)=a_1-a_2+a_3-a_4+...+a_(2m-1)-a_(2m)$
possiamo scriverla come $s_(2m)=(a_1-a_2)+(a_3-a_4)+...+(a_(2m-1)-a_(2m))$
E' somma di termini positivi, poiche per ipotesi la successione e decrescente quindi:
$s_(2m)>0$ da questo posso già dire che la somma parziale a termini pari è cresscente?
La somma parziale a termini dispari è:
$s_(2m+1)=a_1-(a_2-a_3)-...-(a_(2m)-a_(2m+1))$ da cosa capisco chè decresce?
Da dimostrare che $s_(2n)$ cresce e $s_(2n-1)$ decresce. Ad n sostituiamo n+1.
$AA n€N$ $s_(2n+2)=s_(2n)+a_(2n+1)-a_(2n+2)>=s_(2n)$ allora come possiamo vedere $s_2n$ è crescente.
$AA n€N$ $s_(2n+1)=s_(2n-1)-a_(2n)+a_(2n+1)<=s_(2n-1)$ da cui segue che quella dispari è decrescente.
In questo modo dovrebbe essere più semplice
grazie mille della risposta, non ho ancora capito come ottieni queste uguaglianze 
"alexdr":
$s_(2n+2)=s_(2n)+a_(2n+1)-a_(2n+2)$
$s_(2n+1)=s_(2n-1)-a_(2n)+a_(2n+1)$
$s_(2n+2)=s_(2n)+a_(2n+1)-a_(2n+2)>=s_(2n)$
Perché $a_(2n+1)-a_(2n+2)$ è una quantità positiva, essendo per ipotesi al teorema la successione decrescente e quindi il numero che precede è più grande. Allora $s_(2n+2)$ sarà $s_(2n)$ più una quantità positiva o al più nulla. Ed ecco il perché della disuguaglianza.
$s_(2n+1)=s_(2n-1)-a_(2n)+a_(2n+1)<=s_(2n-1)$
Qui invece quella somma sarà negativa, o al più nulla, essendo la successione decrescente per ipotesi. Allora quella quantità sarà più piccola di $s_(2n-1)$, perché toglieremo quella certa quantità
Perché $a_(2n+1)-a_(2n+2)$ è una quantità positiva, essendo per ipotesi al teorema la successione decrescente e quindi il numero che precede è più grande. Allora $s_(2n+2)$ sarà $s_(2n)$ più una quantità positiva o al più nulla. Ed ecco il perché della disuguaglianza.
$s_(2n+1)=s_(2n-1)-a_(2n)+a_(2n+1)<=s_(2n-1)$
Qui invece quella somma sarà negativa, o al più nulla, essendo la successione decrescente per ipotesi. Allora quella quantità sarà più piccola di $s_(2n-1)$, perché toglieremo quella certa quantità
scusami non sono riuscito a spiegarmi bene..
quello che non ho capito è perchè
$s_(2n+2)=s_(2n)+a_(2n+1)−a_(2n+2)$
e
$s_(2n+1)=s_(2n−1)−a_(2n)+a_(2n+1)$
grazie per la pazienza
quello che non ho capito è perchè
$s_(2n+2)=s_(2n)+a_(2n+1)−a_(2n+2)$
e
$s_(2n+1)=s_(2n−1)−a_(2n)+a_(2n+1)$
grazie per la pazienza
"eos.s":
quello che non ho capito è perchè
$s_(2n+2)=s_(2n)+a_(2n+1)−a_(2n+2)$
Per definizione di somma parziale:
\[
s_{2n+2} = (a_1 - a_2 + \cdots + a_{2n}) - a_{2n+1} + a_{2n+2} = s_{2n} - a_{2n+1} + a_{2n+2}.
\]
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