Dubbio dimostrazione convessità
Ho un dubio sulla dimostrazione di stretta convessità, ve la enuncio e vi dico dove non mi trovo:
Ipotesi: $f^2(x) > 0$ $AAx in A$
Tesi: $f$ strettamente convessa in $A$
Dimostrazione:
La tesi implica che $AAx in A$ (esclusi gli estremi di ha) si ha $f(x) > f(x_0)+f'(x_0)*(x-x_0)$ con $x != x_0$
Ovvero la nostra funzione deve essere maggiore della retta tangente tranne per il punto $x_0$
Quello di sopra è del tutto equivalente a questo:
$f(x)-f(x_0)-f'(x_0)*(x-x_0)$
Diciamo che questa è una nuova funzione analoga e la chiamiamo $g(x)$
Inoltre dice che la testi è equivalente a provare che $x_0$ è un punto di minimo globale proprio. E fin qui ci siamo perchè se ho una cosa convessa non scenderà mai sotto della retta tantenge ovvero non sarà mai più piccola di $x_0$
Ora si calcola $g'(x)= f'(x) - f'(x_0)$ che calcolata in $x0$ fa $0$ Si studia i lsegno e dice che prima di $x_0$ la funzione $g$ descresce, in $x_0$ fa $0$ e poi cresce.
Quindi abbiamo trovato che $x_0$ è punto di minimo globale proprio come volevamo.
Adesso viene il passaggio che non mi è chiaro, infatti dice:
Per ipotesi $f^2(x)>0 AAx in A$ (meno che negli estrmi), questo implica $f'$ strettamente crescentre in $A$. Gia questa implicazione non la capisco. Perchè se la derivata seconda è maggiore di $0$ allora la derivata prima è crescente?
E da questa cosa dell'essere strettamente crescente che non riesco a motivare trae le conclusioni e dice:
$x in A$, se $xx_0$ la differenza è positiva.
Questo implica che se $x0$ Quindi $x_0$ minimo locale ma anche globale.
Insomma queste ultime conclusioni qui mi sfuggono. Sarà che non capiso questa ultima parte dell'essere strettamente crescente, se potete darmi delle delucidazioni ve ne sarei grato.
Ipotesi: $f^2(x) > 0$ $AAx in A$
Tesi: $f$ strettamente convessa in $A$
Dimostrazione:
La tesi implica che $AAx in A$ (esclusi gli estremi di ha) si ha $f(x) > f(x_0)+f'(x_0)*(x-x_0)$ con $x != x_0$
Ovvero la nostra funzione deve essere maggiore della retta tangente tranne per il punto $x_0$
Quello di sopra è del tutto equivalente a questo:
$f(x)-f(x_0)-f'(x_0)*(x-x_0)$
Diciamo che questa è una nuova funzione analoga e la chiamiamo $g(x)$
Inoltre dice che la testi è equivalente a provare che $x_0$ è un punto di minimo globale proprio. E fin qui ci siamo perchè se ho una cosa convessa non scenderà mai sotto della retta tantenge ovvero non sarà mai più piccola di $x_0$
Ora si calcola $g'(x)= f'(x) - f'(x_0)$ che calcolata in $x0$ fa $0$ Si studia i lsegno e dice che prima di $x_0$ la funzione $g$ descresce, in $x_0$ fa $0$ e poi cresce.
Quindi abbiamo trovato che $x_0$ è punto di minimo globale proprio come volevamo.
Adesso viene il passaggio che non mi è chiaro, infatti dice:
Per ipotesi $f^2(x)>0 AAx in A$ (meno che negli estrmi), questo implica $f'$ strettamente crescentre in $A$. Gia questa implicazione non la capisco. Perchè se la derivata seconda è maggiore di $0$ allora la derivata prima è crescente?
E da questa cosa dell'essere strettamente crescente che non riesco a motivare trae le conclusioni e dice:
$x in A$, se $x
Questo implica che se $x
Insomma queste ultime conclusioni qui mi sfuggono. Sarà che non capiso questa ultima parte dell'essere strettamente crescente, se potete darmi delle delucidazioni ve ne sarei grato.
Risposte
spero di riuscire a chiarire il tuo dubbio
la derivata prima di una funzione è a sua volta una funzione, di cui la derivata seconda è la derivata prima, e noi sappiamo che se la derivata prima di una funzione è positiva su un determinato intervallo, la funzione è strettamente crescente su quell'intervallo
la derivata prima di una funzione è a sua volta una funzione, di cui la derivata seconda è la derivata prima, e noi sappiamo che se la derivata prima di una funzione è positiva su un determinato intervallo, la funzione è strettamente crescente su quell'intervallo
Non capisco però questa cosa della differenza positiva e negativa dell'ultima parte della dimostrazione. Cosa dovrebbe "dirci" questa cosa della differenza?
interpreto quello che tu hai scritto:
$g'(x)=f'(x)-f'(x_0)$ ; abbiamo stabilito che se f"(x)>0 in un certo intervallo f'(x) è strettamente crescente in quell'intervallo
per definizione di funzione strettamente crescente, abbiamo che a sinistra di $x_0$ sarà :$xf'(x)f'(x)-f'(x_0)<0->g'(x)<0$ , mentre a destra avremo :$x>x_0->f'(x)>f'(x_0)->f'(x)-f'(x_0)>0->g'(x)>0$
quindi in questo caso $x_0$ è punto di minimo, e la funzione volge la concavità verso l'alto
$g'(x)=f'(x)-f'(x_0)$ ; abbiamo stabilito che se f"(x)>0 in un certo intervallo f'(x) è strettamente crescente in quell'intervallo
per definizione di funzione strettamente crescente, abbiamo che a sinistra di $x_0$ sarà :$x
quindi in questo caso $x_0$ è punto di minimo, e la funzione volge la concavità verso l'alto
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