Dubbio dimostrazione condizione necessaria convergenza serie

[TS778LB]

Per ipotesi la serie è convergente quindi la successione delle somme parziali $ s_n->s $ . perchè $ s $ è anche il limite di $ s_{n-1} $ ?

[Mephlip]

Perché si dimostra che il limite, se esiste, è unico; perciò se $s_n \to s$ per ipotesi (ossia il limite esiste ed è $s$), anche $s_{n-1} \to s$.
Oppure puoi anche ragionare per sottosuccessioni.

[TS778LB]

Forse non mi è chiara la distinzione tra $ s_n $ e $ s_{n-1} $. Se ad esempio $ s_n $ in forma chiusa si scrivesse come $ \frac{1]{n} $, $ s_{n-1} $ non sarebbe $ \frac{1}{n-1 $ ?
Per ragionare con le sottosuccessioni dovrei considerare $ s_{n-1} $ come estratta da $ s_n $ con indici $ n_k=k-1 $ ? Una $ n_k $ fatta così però non è una successione strettamente crescente di numeri naturali ( $ k=1, n_k=0\notinN $). Come dovrei fare?

[anto_zoolander]

Puoi vederla come una sottosuccessione

[TS778LB]

in che modo? $s_n$ ed $s_{n-1}$ differiscono solo per un termine o per infiniti termini?

[gugo82]

@TS778LB: Ci sono serie convergenti di cui sai scrivere le somme parziali?
Scegline una e scrivi esplicitamente $s_n$ ed $s_(n-1)$; poi passa al limite: che trovi?
Perché?
Come puoi usare la definizione di limite per dimostrare quello che hai trovato?
Puoi replicare lo stesso ragionamento nel caso generale?

[TS778LB]

Per la serie di Mengoli $ s_n=1-\frac{1}{n+1} $ e $ s_{n-1}=1-\frac{1}{n} $. Entrambe tendono ad 1. Per ipotesi sappiamo che $ s_n->s=1 $ quindi preso $ \epsilon>0 \exists n_0:abs{s_n-s}<\epsilon \foralln>n_0 $. Ora mi verrebbe da dire che se $n-1>n_0$ allora $s$ è anche il limite di $s_{n-1}$

[gugo82]

Giusto.
In particolare, in corrispondenza di $varepsilon$ esiste $n_1=n_0+1$ in modo che $n>n_1$ implica $n-1 > n_0$ e dunque $|s_(n-1) - s| < varepsilon $; perciò anche $s_(n-1) -> s$.

Il caso generale si accomoda con lo stesso trucco.