Dubbio dimostrazione che \(\displaystyle \mathbb{N} \) è infinito

[bobus1]

Riporto l'immagine della dimostrazione del fatto che l'insieme \(\displaystyle \mathbb{N} \) è infinito, presa dal libro Analisi Matematica di Giovanni Prodi.

Dato un \(\displaystyle n \in \mathbb{N} \), \(\displaystyle I_n \) è definito così \(\displaystyle I_n = \{0, 1, 2, \dots , n -1 \} \). Il teorema 6.4 dice che, per ogni \(\displaystyle n \geq 1 \), \(\displaystyle I_n \) non può essere messo in corrispondenza biunivoca con una sua parte propria.



Non capisco perché \(\displaystyle f|_{I_n}: I_n \rightarrow I_n \) dovrebbe avere un'immagine che è un sottoinsieme proprio di \(\displaystyle I_n \)?

[killing_buddha]

Prendi $k\notin I_n$; se $f|_{I_n}$ fosse suriettiva, $f|_{I_n\cup \{k\}}$ (e dunque a fortiori $f$) non potrebbe essere iniettiva perché $f(k)=f(i)$ per un certo $i\in I_n$.

[bobus1]

Chiarissimo, grazie!