Dubbio dimostrazione analisi (connessi e funzioni continue)
Salve, vorrei qualcuno mi chiarisse questo dubbio:
Sugli appunti ho la dimostrazione che se ho f: T -> H (T e H spazi metrici), continua, con T connesso, allora f(T) è connesso.
La dimostrazione procede per assurdo, se f(T) non fosse connesso esisterebbero due insiemi, A,B tali che l'unione di essi fa proprio il codominio di f, la loro intersezione è l'insieme vuoto.
Ma allora si dice, applicando $f^-1 (AUB) = f^-1(A)Uf^-1(B)$. questi due insiemi sono aperti (una funzione continua manda un aperto in un aperto), la loro unione fa T, e la loro intersezione è nulla, ovvero T è sconnesso.
A me non torna quando applica $f^-1$. Nelle ipotesi non c'è che f sia invertibile. Forse applicare $f^-1$ è una scorciatoia per dire "osserviamo il dominio di f, sarà costituito da due insiemi che chiamo $f^-1(A)$ ed $f^-1(B)$ tali che..."
Oppure è del tutto sbagliata la dimostrazione? se sì quale sarebbe quella giusta? grazie.
Sugli appunti ho la dimostrazione che se ho f: T -> H (T e H spazi metrici), continua, con T connesso, allora f(T) è connesso.
La dimostrazione procede per assurdo, se f(T) non fosse connesso esisterebbero due insiemi, A,B tali che l'unione di essi fa proprio il codominio di f, la loro intersezione è l'insieme vuoto.
Ma allora si dice, applicando $f^-1 (AUB) = f^-1(A)Uf^-1(B)$. questi due insiemi sono aperti (una funzione continua manda un aperto in un aperto), la loro unione fa T, e la loro intersezione è nulla, ovvero T è sconnesso.
A me non torna quando applica $f^-1$. Nelle ipotesi non c'è che f sia invertibile. Forse applicare $f^-1$ è una scorciatoia per dire "osserviamo il dominio di f, sarà costituito da due insiemi che chiamo $f^-1(A)$ ed $f^-1(B)$ tali che..."
Oppure è del tutto sbagliata la dimostrazione? se sì quale sarebbe quella giusta? grazie.
Risposte
Il teorema si dimostra cosí, se l'immagine della funzione fosse non connnessa sarebbe unione di insiemi separati, allora sarebbe l'unione di due insiemi A e B tali per cui la chiusura dell'uno non avrebbe punti in comune con l'altro, a questo punto prendi la chiusura di A e consideri la cointroimmagine che é chiusa perché la funzione é continua, ma ovviamente non ha nessun punto in comune con la controimmagine di B, scambi i ruoli di A e B e ottieni l'assurdo che T é l'unione di insiemi separati. Quest'ultima deduzione é perché le controimmagini sono chiuse e conterrebbero le chiusure delle controimmagini di A e B la cui unione é T.
"Zkeggia":
Salve, vorrei qualcuno mi chiarisse questo dubbio:
Sugli appunti ho la dimostrazione che se ho f: T -> H (T e H spazi metrici), continua, con T connesso, allora f(T) è connesso.
La dimostrazione procede per assurdo, se f(T) non fosse connesso esisterebbero due insiemi, A,B tali che l'unione di essi fa proprio il codominio di f, la loro intersezione è l'insieme vuoto.
Ma allora si dice, applicando $f^-1 (AUB) = f^-1(A)Uf^-1(B)$. questi due insiemi sono aperti (una funzione continua manda un aperto in un aperto), la loro unione fa T, e la loro intersezione è nulla, ovvero T è sconnesso.
A me non torna quando applica $f^-1$. Nelle ipotesi non c'è che f sia invertibile. Forse applicare $f^-1$ è una scorciatoia per dire "osserviamo il dominio di f, sarà costituito da due insiemi che chiamo $f^-1(A)$ ed $f^-1(B)$ tali che..."
Oppure è del tutto sbagliata la dimostrazione? se sì quale sarebbe quella giusta? grazie.
Il fatto e' che $f^{-1}(A)$, dove $A$ e' un insieme, ha senso indipendentemente dal fatto che $f$ sia invertibile. Supponiamo che $f: D\to E$ e che $A\subset E$
$f^{-1}(A)$ (detto controimmagine di $A$) e' l'insieme ${x\in D:f(x)\in A}$.
Si vede facilmente che
(1) $f^{-1}(A_1\cup A_2)=f^{-1}(A_1)\cup f^{-1}(A_2)$ e $f^{-1}(A_1\cap A_2)=f^{-1}(A_1)\cap f^{-1}(A_2)$;
(2) se $A$ e' aperto e $f$ e' continua, allora $f^{-1}(A)$ e' aperto.
Sul fatto che una funzione continua mandi un aperto in un aperto o seri dubbi, la funzione che ha questa proprietá si chiama aperta.
Sai perché sbagli, perché il fatto che un insieme sia aperto dipende sempre dallo spazio metrico. Posso farti esempi in cui un insieme a secondo lo spazio metrico che consideri diventa chiuso, ma anche ne aperto ne chiuso.
Sai perché sbagli, perché il fatto che un insieme sia aperto dipende sempre dallo spazio metrico. Posso farti esempi in cui un insieme a secondo lo spazio metrico che consideri diventa chiuso, ma anche ne aperto ne chiuso.
"regim":
Sul fatto che una funzione continua mandi un aperto in un aperto o seri dubbi, la funzione che ha questa proprietá si chiama aperta.
Sai perché sbagli, perché il fatto che un insieme sia aperto dipende sempre dallo spazio metrico. Posso farti esempi in cui un insieme a secondo lo spazio metrico che consideri diventa chiuso, ma anche ne aperto ne chiuso.
Ti pare che io abbia detto che $f$ manda aperti in aperti ?
@regim
Scusa ho capito dopo che non ti riferifi a me - effettivamente Zkeggia si e' espresso male, ma dal contesto mi sembra che intendesse la controimmagine (anche perche' citava
una dimostrazione non sua).
Comunque ri-scusa.
Scusa ho capito dopo che non ti riferifi a me - effettivamente Zkeggia si e' espresso male, ma dal contesto mi sembra che intendesse la controimmagine (anche perche' citava
una dimostrazione non sua).
Comunque ri-scusa.
In effetti ho sempre trovato la notazione $f^(-1)(A)$ un po' ambigua, visto che con $f^(-1)$ si denota pure l'applicazione inversa... Di solito preferisco usare un altro simbolo, tipo $\vec(f)$, ma con la freccia nell'altro verso (per intendere che sto "buttando indietro", ossia sto riportando nel dominio, la parte del codominio cui è applicata la controimmagine).
No no vicious mi riferivo all'autore del 3D, commentavo una sua espressione, sai qual'é il mio problema é che sono un po' pigro 
avrei dovuto riportare l'espressione da me citata, me ne scuso, e sempre perché sono pigro mi rifiuto di scrivere risposte, se le conosco, dove devo scrivere espressioni complesse 
faccio fatica
avrei dovuto riportare l'espressione da me citata, me ne scuso, e sempre perché sono pigro mi rifiuto di scrivere risposte, se le conosco, dove devo scrivere espressioni complesse faccio fatica
@Gugo82
Beh, pero' se ammetti di essere in grado di distinguere se in $f^{-1}(A)$ il simbolo $A$ denota un elemento o un sottinsieme del codominio l'ambiguita' non c'e'
dato che, nel caso che $A$ sia un sottoinsieme del codominio, la controimmagine di $A$ tramite $f$ e l'immagine di $A$ tramite $f^{-1}$ coincidono.
E' vero peraltro che nella teoria assiomatica degli insiemi (in cui tutto e' insieme) la notazione $f^{-1}(A)$ (come pure $f(A)$ ) e' ambigua. Ma non siamo a questi lvelli.
Beh, pero' se ammetti di essere in grado di distinguere se in $f^{-1}(A)$ il simbolo $A$ denota un elemento o un sottinsieme del codominio l'ambiguita' non c'e'
dato che, nel caso che $A$ sia un sottoinsieme del codominio, la controimmagine di $A$ tramite $f$ e l'immagine di $A$ tramite $f^{-1}$ coincidono.
E' vero peraltro che nella teoria assiomatica degli insiemi (in cui tutto e' insieme) la notazione $f^{-1}(A)$ (come pure $f(A)$ ) e' ambigua. Ma non siamo a questi lvelli.
Si VG, lo so che c'è differenza tra elementi ed insiemi...
Per come la vedo io (ma credo anche tu), la scelta delle notazioni è basata su un balance tra la voglia di limitare il rischio d'incomprensione e la volontà di mantenere la notazione stessa più semplice possibile (per non sconfinare nell'esotismo).
Se proponi ad uno studente del primo anno la notazione $f^(-1)$ sia per denotare la funzione inversa sia per la controimmagine, in tal caso usando il simbolo anche per funzioni non invertibili, corri il rischio di incasinarlo inutilmente (cioè per una quisquilia che può essere evitata con una freccina).
Quando si "diventa grandi" la cosa sembra banale, ma "da bambini" la notazione ha una grande importanza, no?
Per come la vedo io (ma credo anche tu), la scelta delle notazioni è basata su un balance tra la voglia di limitare il rischio d'incomprensione e la volontà di mantenere la notazione stessa più semplice possibile (per non sconfinare nell'esotismo).
Se proponi ad uno studente del primo anno la notazione $f^(-1)$ sia per denotare la funzione inversa sia per la controimmagine, in tal caso usando il simbolo anche per funzioni non invertibili, corri il rischio di incasinarlo inutilmente (cioè per una quisquilia che può essere evitata con una freccina).
Quando si "diventa grandi" la cosa sembra banale, ma "da bambini" la notazione ha una grande importanza, no?
@Gugo82
Guarda, sono abbastanza d'accordo con te (soprattutto riguardo agli studenti). Poi la notazione $f^{-1}$ mi sembra cosi' chiara (probabilmente per
la lunga consuetudine che me ne fa distinguere automaticamente l'uso corretto ), che non sento bisogno di differenziarla.
P.S. pero' in effetti il caso di cui parliamo mostra che un po' di confusione c'e'
Guarda, sono abbastanza d'accordo con te (soprattutto riguardo agli studenti). Poi la notazione $f^{-1}$ mi sembra cosi' chiara (probabilmente per
la lunga consuetudine che me ne fa distinguere automaticamente l'uso corretto ), che non sento bisogno di differenziarla.
P.S. pero' in effetti il caso di cui parliamo mostra che un po' di confusione c'e'
@Regim: cito da wikipedia (e anche dai miei appunti):
"Si può dimostrare che una funzione è continua (rispetto alla definizione appena data) se e solo se la controimmagine di ogni insieme aperto in Y è un insieme aperto in X. Infatti, se vale la proprietà appena enunciata e x un punto di X, la controimmagine di ogni intorno aperto di f(x) è un aperto di X contenente x, è quindi un intorno di x. Viceversa, se f è continua in ogni punto di X e M è un aperto di Y, possiamo avere due casi:
* la controimmagine di M è l'insieme vuoto (se M non contiene punti dell'immagine di f) ed è quindi un aperto,
* M contiene un punto f(x), è quindi un intorno di quel punto e la sua controimmagine è un intorno di X, quindi un aperto."
(tra l'altro non mi torna l'ultima affermazione, cioè "la sua controimmagine è un intorno di X, QUINDI un aperto... non capisco il quindi)
cioè io intendevo questo, mi sono espresso male, ma volevo dire che una funzione continua ha come controimmagine di ogni aperto un aperto.
Comunque ringrazio tutti per aver contribuito a farmi capire la nozione di $f^-1$, cioè non riuscivo a capire perché si usasse sempre quel termine (Tra l'altro avendo dato da poco Geometria quando leggo $f^-1$ penso subito a un sacco di cose... deformazione professionale?)
@Goblin e Gugo:
Ma che fate le paternali?
(detto scherzando eh)
"Si può dimostrare che una funzione è continua (rispetto alla definizione appena data) se e solo se la controimmagine di ogni insieme aperto in Y è un insieme aperto in X. Infatti, se vale la proprietà appena enunciata e x un punto di X, la controimmagine di ogni intorno aperto di f(x) è un aperto di X contenente x, è quindi un intorno di x. Viceversa, se f è continua in ogni punto di X e M è un aperto di Y, possiamo avere due casi:
* la controimmagine di M è l'insieme vuoto (se M non contiene punti dell'immagine di f) ed è quindi un aperto,
* M contiene un punto f(x), è quindi un intorno di quel punto e la sua controimmagine è un intorno di X, quindi un aperto."
(tra l'altro non mi torna l'ultima affermazione, cioè "la sua controimmagine è un intorno di X, QUINDI un aperto... non capisco il quindi)
cioè io intendevo questo, mi sono espresso male, ma volevo dire che una funzione continua ha come controimmagine di ogni aperto un aperto.
Comunque ringrazio tutti per aver contribuito a farmi capire la nozione di $f^-1$, cioè non riuscivo a capire perché si usasse sempre quel termine (Tra l'altro avendo dato da poco Geometria quando leggo $f^-1$ penso subito a un sacco di cose... deformazione professionale?)
@Goblin e Gugo:
Ma che fate le paternali?
(detto scherzando eh)
"Zkeggia":
@Goblin e Gugo:
Ma che fate le paternali?
Nooo, non sono così vecchio... Al massimo ti potrei fare una cuginale!
Solo che con VG, che (sicuramente) ha molta più esperienza di me, mi piace discutere di queste cosette, visto che sono curioso di sapere come la pensa.
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