Dubbio dimostrazione

[tookie]

Ciao a tutti,
Volevo sapere se per dimostrare che $ (1+1 / n )^n $ è crescente e $ (1+1 / n )^(n+1) $ è decrescente e che hanno entrambe limite finito uguale devo usare il teorema delle successioni monotone, oppure è consigliato o più semplice utilizzare un altro metodo

[ViciousGoblin]

"tookie":Ciao a tutti,
Volevo sapere se per dimostrare che $ (1+1 / n )^n $ è crescente e $ (1+1 / n )^(n+1) $ è decrescente e che hanno entrambe limite finito uguale devo usare il teorema delle successioni monotone, oppure è consigliato o più semplice utilizzare un altro metodo

Per dimostrare che $ (1+1 / n )^n $ è crescente devi dimostrare che $ (1+1 / n )^n\leq (1+\frac{1}{n+1})^{n+1}$ per ogni $n$.
Per dimostrare che $ (1+1 / n )^(n+1) $ è decrescente devi dimostrare che che $(1+1 / n )^{n+1}\geq (1+\frac{1}{n+1} )^{n+2} $ per ogni $n$.

Per dimostrare che hanno limite finito l'unico modo (si possono fare altri giri ma alla base qui si arriva) è usare il teorema delle successioni monotone - avendo appunto fatto vedere sopra
la monotonia.