Dubbio dim. teorema:caratterizzazione delle $omega$ esatte

[acero1]

Salve ragazzi ho un dubbio sulla parte finale della dimostrazione del teorema delle forme differenziali esatte.

Enuncio prima il teorema:
Sia $omega:A supe RR^2->RR$, A aperto di $RR^2$, continua in A e prese
$gamma,gamma_1 e gamma_2$ curve regolari a tratti contenute in A.
Valgono le seguenti proprietà:
1)$omega$ è esatta
2)$AA gamma$ regolare a tratti chiusa contenuta in A vale $int_(gamma)omega ds=0 $
3)$AA gamma_1,gamma_2$ regolari a tratti chiuse con stesso verso contenuta in A vale $int_(gamma_1)omega ds=int_(gamma_2)omega ds$


Adesso posso esporvi il mio dubbio....
Il libro dimostra $1) rArr 2)$, $2) rArr 3)$ e $3) rArr 1)$
Beh proprio di quest'ultima dimostrazione non mi sono chiari alcuni passaggi

Lui vuole dimostrare sostanzialmente che
$AA gamma_1,gamma_2$ regolari a tratti chiuse con stesso verso contenuta in A vale $int_(gamma_1)omega ds=int_(gamma_2)omega ds$
&rArr&
$omega$ è esatta

Per cui considera una curva $gamma$ di estremi (x_0,y_0) e (x,y) e definisce

$f(x,y)=int_(gamma) adx+bdy$
Questo passaggio non mi è molto chiaro perchè non capisco in base a cosa si può scrivere questa relazione

poi successivamente considera il segmento di estremi $(x,y) (x+h,y)$ con $h in RR$ $h!=0$ e tale che $x+h in A$
(e fin qui ci siamo,ovvero prende un segmento x+h in modo che rimanga sempre nell'insieme A e la chiama $gamma_1$)
successivamente considera
$f(x+h,y)-f(x,y)=int_(phi) adx+bdy$
dove $phi=gamma-gamma_1$

poi successivamente prende una rappresentazione parametrica di $phi$ moltiplica e divide per h e fa il limite e si trova dimostrato una parte del teorema....

quindi ricapitolando il punto del teorema che non mi è chiaro è il perchè e in base a cosa usa
$f(x,y)=int_(gamma) adx+bdy$

Mi scuso se mi sono dilungato molto ma ho cercato di essere il più preciso possibile in quanto il mio dubbio è proprio ad una parte di questo teorema...
(ps ho fatto una faticaccia a scrivere tutto sto teorema xD)

[ciampax]

Suppongo che [tex]$\omega=a(x,y)\ dx+b(x,y)\ dy$[/tex]: quello che vuoi fare è dimostrare che esiste [tex]$f(x,y)$[/tex] tale che [tex]$df=\omega$[/tex]. Pertanto la dimostrazione ti dice: consideriamo come "possibile" funzione primitiva la seguente [tex]$f(x,y)=\int_\gamma(a\ dx+b\ dy)$[/tex] e vediamo se lo è davvero, usando l'ipotesi 3 del teorema.

[acero1]

"ciampax":Suppongo che [tex]$\omega=a(x,y)\ dx+b(x,y)\ dy$[/tex]: quello che vuoi fare è dimostrare che esiste [tex]$f(x,y)$[/tex] tale che [tex]$df=\omega$[/tex]. Pertanto la dimostrazione ti dice: consideriamo come "possibile" funzione primitiva la seguente [tex]$f(x,y)=\int_\gamma(a\ dx+b\ dy)$[/tex] e vediamo se lo è davvero, usando l'ipotesi 3 del teorema.

Quindi lui per dimostrare che esatta suppone che lo sia perchè parte dall'enunciato della forma differenziale esatta ovvero

$ EE f:A->RR$ f differenziabile in A tale che $df=omega $

da cui poi

$int df(x,y)=int omega$

e quindi ottiene

$f(x,y)=int_(gamma)adx+bdy$

Spero di aver capito xD

grazie ciampax come sempre sei gentilissimo!

[ciampax]

Non è che suppone che lo sia: quello che dice è, valendo la condizione 3) indichiamo con $f$ quell'integrale e facciamo vedere che esso risulta proprio la primitiva.

[acero1]

ah ok...chiarissimo ti ringrazio!!!