Dubbio di dimostrazione, $f: RR -> RR$ continua

[Seneca1]

In più di una occasione mi è capitata la seguente situazione:
Ho una funzione $f: RR -> RR$, continua (e magari derivabile); e inoltre
$lim_(x -> +oo) f(x) = lim_(x -> - oo ) f(x) = +oo$ .
E ora, proprio come farei se dovessi applicare Rolle, voglio prendere $y$ abbastanza grande in modo che esistano due punti $x_1 , x_2$ tali che $y = f(x_1) = f(x_2)$.

Ma qual è il modo più semplice per giustificare la scelta dell'$y$ e l'esistenza dei due punti $x_1 , x_2$?

Idea:

Mi verrebbe da considerare due intervalli del tipo $] - oo , a [$ , $] b , +oo [$. Per il teorema di connessione le immagini sono intervalli (sup. illimitati, dalle ipotesi sui limiti). Cioè:
$f (] - oo , a [) = ] a_1 , + oo [$
$f (] b , +oo [) = ] b_1 , + oo [$
Allora considero $y in ]a_1 , +oo [ nn ]b_1 , +oo [$.

Oppure la cosa è molto più elementare e mi sfugge?

[Rigel1]

Il concetto è quello da te espresso; fissato $y$ abbastanza grande (basta $y > f(0)$) per definizione di limite trovi $a<0$ e $b>0$ t.c. $f(a) > y$ e $f(b) > y$.
A questo punto applichi il teorema dei valori intermedi negli intervalli $[a,0]$ e $[0,b]$.