Dubbio derivate parziali

[mastro871]

Questo modo di scrivere le derivate parziali $(delx)/(delt)dt $ vuole dire la stessa cosa di questo $(delx)/(delt)$.
Il mio libro (Termodinamica) quando parla di derivate parziali a volte usa l'uno e a volte usa l'altro e volevo capire qual' era la differenza.

[Raptorista1]

No, sono due cose diverse.
La seconda scrittura è la derivata parziale di \(x\) rispetto a \(t\); la prima indica il prodotto tra questa derivata ed il differenziale di \(t\).
Quest'ultima è una scrittura che compare, ad esempio, nell'espressione di quello che alcuni chiamano "Teorema del differenziale totale", che afferma che
\[
df(x, y, z) = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy + \frac{\partial f}{\partial z} dz.
\]

[mastro871]

Grazie per la risposta.
Praticamente però qual'è la differenza ?
la seconda rappresenta l'incremento di $x$ secondo $t$ . La prima "praticamente " cos'è ?

[Raptorista1]

"Praticamente" [il che significa "non rigorosamente"] la prima ti dice l'incremento effettivo dovuto ad una variazione \(dx\).
Faccio un esempio con la cinematica per spiegarti meglio: se \(x(t)\) è la posizione, \(\frac{\partial x}{\partial t} = v(t)\) è la velocità, che ti indica "quanto varia" \(x\) al variare di \(t\), mentre \(\frac{d x}{d t} dt = \frac{\partial x}{\partial t} dt = dx\) è il prodotto tra "quanto varia \(x\) in un determinato istante" [\(\frac{d x}{d t} = \frac{\partial x}{\partial t}\)] e "quanto dura quell'istante" [\(dt\)], che puoi pensare come "quanto effettivamente mi sposto in un tempo \(dt\)" [è infatti il prodotto tra un tempo ed una velocità].

Ricorda che nelle formule che ho scritto NON si semplificano i \(dt\) facendo una cosa tipo \(\frac{d x}{d t} dt = \frac{d t}{d t} dx = dx\) [questo è male, e Fioravante non vuole!].

[mastro871]

Grazie mille, mi hai chiarito molti dubbi.