Dubbio derivabilità
Salve a tutti, studiando la teoria delle derivate mi è venuto questo dubbio : se f è derivabile in un intorno di x0 allora è sicuramente continua in quell'intorno. È giusto affermare questo? Perché esistono funzioni che pur essendo derivabili, non sono continue. Quindi è errato quel teorema?
Risposte
In che contesto ti trovi? In $\mathbb{R}$ le funzioni derivabili in un intorno di un punto sono sempre continue in tale intorno, il discorso cambia se sei in $\mathbb{R}^n$ con $n\geq2$.
"Mephlip":
In che contesto ti trovi? In $\mathbb{R}$ le funzioni derivabili in un intorno di un punto sono sempre continue in tale intorno, il discorso cambia se sei in $\mathbb{R}^n$ con $n\geq2$.
Da R->R, quindi sicuramente la funzione sarà continua nell'intorno di x0?
Sì!
"Mephlip":
Sì!
Di conseguenza sotto le stesse ipotesi, f è anche integrabile in x0?
Un importante teorema del calcolo integrale ti garantisce che se $f$ è continua allora è anche integrabile.
"Mephlip":
Un importante teorema del calcolo integrale ti garantisce che se $f$ è continua allora è anche integrabile.
E se la funzione è derivabile in un punto allora è continua nell’intorno di quel punto?
"Salvy":
[quote="Mephlip"]Un importante teorema del calcolo integrale ti garantisce che se $f$ è continua allora è anche integrabile.
E se la funzione è derivabile in un punto allora è continua nell’intorno di quel punto?[/quote]
No, nemmeno per sbaglio.
Vedi qui
Grazie mille
@Salvy: ora che rileggo meglio la domanda
Ti rispondo meglio: non ha senso chiedersi se una funzione è integrabile in un punto $x_0$. Ha invece senso chiedersi se una funzione è integrabile in un intervallo.
"Salvy":
Di conseguenza sotto le stesse ipotesi, f è anche integrabile in x0?
Ti rispondo meglio: non ha senso chiedersi se una funzione è integrabile in un punto $x_0$. Ha invece senso chiedersi se una funzione è integrabile in un intervallo.
Invece di fare "tutta la derivabilità minuto per minuto", prova a dimostrare qualcuna di queste affermazioni. Senza capire almeno un accenno di dimostrazione uno non può padroneggiare nessun risultato. Per esempio, parti dall'ipotesi che
\[
\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\quad \text{esiste.}
\]
Dimostra che, allora
\[
\lim_{h\to 0} (f(x+h)-f(x))=0, \]
ovvero, che \(f\) è continua in \(x\). E' veramente molto semplice ed è la chiave di tutti i tuoi dubbi di questo thread.
\[
\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\quad \text{esiste.}
\]
Dimostra che, allora
\[
\lim_{h\to 0} (f(x+h)-f(x))=0, \]
ovvero, che \(f\) è continua in \(x\). E' veramente molto semplice ed è la chiave di tutti i tuoi dubbi di questo thread.
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