Dubbio derivabilità
Salve ragazzi.
Consideriamo $f: (a,b)\to RR$ e $x_0\in (a,b)$. E' per caso vero che
\[f\ \text{derivabile in}\ x_0\implies f\ \text{continua in un intorno di } x_0\]
???
Il dubbio mi sorge leggendo varie dimostrazioni della formula di Taylor con resto di Peano in cui si assume solamente che $f$ sia derivabile $n$ volte in $x_0$ e non che $f$ sia derivabile $(n-1)$ volte nel resto dell'intervallo $(a,b)$, ipotesi entrambe che, da quel che ho capito leggendo varie dimostrazioni, sono indispensabili. Mah
Consideriamo $f: (a,b)\to RR$ e $x_0\in (a,b)$. E' per caso vero che
\[f\ \text{derivabile in}\ x_0\implies f\ \text{continua in un intorno di } x_0\]
???
Il dubbio mi sorge leggendo varie dimostrazioni della formula di Taylor con resto di Peano in cui si assume solamente che $f$ sia derivabile $n$ volte in $x_0$ e non che $f$ sia derivabile $(n-1)$ volte nel resto dell'intervallo $(a,b)$, ipotesi entrambe che, da quel che ho capito leggendo varie dimostrazioni, sono indispensabili. Mah
Risposte
L'affermazione : 'se f(x) e' derivabile in $x_{0}$ allora f(x) e' continua in $x_{0}$' e' sicuramente vera come sicuramente non vera e' l'affermazione inversa : 'se f(x) e' continua in $x_{0}$ allora f(x) e' derivabile in $x_{0}$' ...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
Ciao! Sì ok, su quello che accade in $x_0$ non ho dubbi 
L'implicazione che ho scritto sopra dice un'altra cosa!
L'implicazione che ho scritto sopra dice un'altra cosa!
Ciao Plepp, in effetti anche io ho notato che si richiede solo la derivabilità in $x_0$.. come mai ti interessa la derivabilità su un intervallo $(a,b)$ contenente $x_0$?
Provato con qualcosa del tipo
\[
f(x) = \begin{cases} x^2 & x\in\mathbb Q\\
-x^2 & x \in \mathbb R \setminus \mathbb Q
\end{cases}
\]
Mi pare che $f$ sia derivabile (e continua) in $x=0$, non continua per tutti gli altri $x \in \mathbb R \setminus \{0\}$.
\[
f(x) = \begin{cases} x^2 & x\in\mathbb Q\\
-x^2 & x \in \mathbb R \setminus \mathbb Q
\end{cases}
\]
Mi pare che $f$ sia derivabile (e continua) in $x=0$, non continua per tutti gli altri $x \in \mathbb R \setminus \{0\}$.
In generale la formula di Taylor e' la seguente...
$f(x_{0}+h) = f(x_{0}) + \frac{h}{1!}\ f^{\ '}(x_{0}) + \frac{h^{2}}{2!}\ f^{\ ''}(x_{0}) + ... + \frac{h^{n}}{n!}\ f^{(n)} (x_{0}) + R_{n} (h)$ (1)
... ove il termine $R_{n}(h)$ e' chiamato 'resto ennesimo'. Della formula di Taylor esistono differenti versioni a seconda dell'espressione assunta dal resto. In tutti i casi si richiede la continuita' delle derivate di f(*) dei primi n ordini in tutto l'intervallo $[x_{0], x_{0} + h]$. Nel caso della formula di Taylor con il resto di Peano il suddetto resto si scrive come...
$R_{n}(h)= \frac{h^{n+1}}{(n+1)!}\ [f^{(n+1)} (x_{0}) + \varepsilon (h)]$ (2)
La differenza della formula di Taylor con il resto di Peano rispetto ad altre formule di Taylor [con il resto di Lagrange, con il resto di Cauchy, con il resto in forma integrale...] e' che si richiede semplicemente l'esistenza della derivata di ordine n+1 in $x_{0}$ e non la sua contibuita' in tutto l'intervallo $[x_{0], x_{0} + h]$...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
$f(x_{0}+h) = f(x_{0}) + \frac{h}{1!}\ f^{\ '}(x_{0}) + \frac{h^{2}}{2!}\ f^{\ ''}(x_{0}) + ... + \frac{h^{n}}{n!}\ f^{(n)} (x_{0}) + R_{n} (h)$ (1)
... ove il termine $R_{n}(h)$ e' chiamato 'resto ennesimo'. Della formula di Taylor esistono differenti versioni a seconda dell'espressione assunta dal resto. In tutti i casi si richiede la continuita' delle derivate di f(*) dei primi n ordini in tutto l'intervallo $[x_{0], x_{0} + h]$. Nel caso della formula di Taylor con il resto di Peano il suddetto resto si scrive come...
$R_{n}(h)= \frac{h^{n+1}}{(n+1)!}\ [f^{(n+1)} (x_{0}) + \varepsilon (h)]$ (2)
La differenza della formula di Taylor con il resto di Peano rispetto ad altre formule di Taylor [con il resto di Lagrange, con il resto di Cauchy, con il resto in forma integrale...] e' che si richiede semplicemente l'esistenza della derivata di ordine n+1 in $x_{0}$ e non la sua contibuita' in tutto l'intervallo $[x_{0], x_{0} + h]$...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
"Obidream":
Ciao Plepp, in effetti anche io ho notato che si richiede solo la derivabilità in $x_0$.. come mai ti interessa la derivabilità su un intervallo $(a,b)$ contenente $x_0$?
Ciao Obi. Perché in tutte le dimostrazioni che ho trovato si fa uso del Teorema di De L'Hopital, che appunto necessità di queste condizioni per essere applicato (in questa situazione s'intende)
"Paolo90":
Provato con qualcosa del tipo
\[ f(x) = \begin{cases} x^2 & x\in\mathbb Q\\ -x^2 & x \in \mathbb R \setminus \mathbb Q \end{cases} \]
Mi pare che $ f $ sia derivabile (e continua) in $ x=0 $, non continua per tutti gli altri $ x \in \mathbb R \setminus \{0\} $.
Ciao Paolo! Ottimo (contro)esempio
sì, anche a me pare che questa "schifezza" sia continua e derivabile solo in $0$ (con derivata nulla). Grazie @$\chi\sigma$: non ho mai visto il resto di Peano scritto in quel modo
né ho sentito parlare di derivata $n+1$-esima in quel contesto Cosa sarebbe $epsilon(h)$? Grazie anche a te
Oddio andando a rivedere il Marchese mi sembra che in realtà non si parli di intervalli...Ecco l'enunciato che ho io:
Siano $f,g$ definite in un intorno di $c$ tranne eventualmente in $c$ e tali che $lim_(x->c)f(x)=lim_(x->c)g(x)=L$ dove $L=0$ oppure $+oo$ o $-oo$. Se $f,g$ sono derivabili nell'intorno di $c$, tranne eventualmente in $c$, con $g'!=0$ e se esiste:
$lim_(x->c) (f'(x))/(g'(x))$
allora esiste anche:
$lim_(x->c) f(x)/g(x)$
e tale limite è uguale al precedente.
Siano $f,g$ definite in un intorno di $c$ tranne eventualmente in $c$ e tali che $lim_(x->c)f(x)=lim_(x->c)g(x)=L$ dove $L=0$ oppure $+oo$ o $-oo$. Se $f,g$ sono derivabili nell'intorno di $c$, tranne eventualmente in $c$, con $g'!=0$ e se esiste:
$lim_(x->c) (f'(x))/(g'(x))$
allora esiste anche:
$lim_(x->c) f(x)/g(x)$
e tale limite è uguale al precedente.
Ma va benissimo anche così! L'importante è che ci sia qualche ipotesi di regolarità intorno al punto $c$. Questo perché nelle dimostrazioni che conosco si utilizza il Teorema di Cauchy.
"Plepp":
@$\chi\sigma$: non ho mai visto il resto di Peano scritto in quel modo
$\varepsilon (h)$ e' una funzione tale che $ \lim_{h \rightarrow 0} \varepsilon (h)=0$...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
"chisigma":
[quote="Plepp"]
@$\chi\sigma$: non ho mai visto il resto di Peano scritto in quel modo
$\varepsilon (h)$ e' una funzione tale che $ \lim_{h \rightarrow 0} \varepsilon (h)=0$...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$[/quote]
Ah ecco. Non ho mai visto definito in questo modo il resto di Peano
"Plepp":
Il dubbio mi sorge leggendo varie dimostrazioni della formula di Taylor con resto di Peano in cui si assume solamente che $f$ sia derivabile $n$ volte in $x_0$ e non che $f$ sia derivabile $(n-1)$ volte nel resto dell'intervallo $(a,b)$, ipotesi entrambe che, da quel che ho capito leggendo varie dimostrazioni, sono indispensabili. Mah
Ciò che dici è corretto.
Spesso, però, si sottintende che, nella situazione descritta, richiedere che \(f\) sia derivabile \(n\) volte in \(x_0\) implichi che la derivata \((n-1)\)-esima sia definita (non necessariamente continua) in un intorno di \(x_0\); questo perché, per definire tale derivata \(n\)-esima, hai appunto bisogno che la \((n-1)\)-esima sia definita in un intorno di \(x_0\) (si può discutere sul fatto che ce ne sia veramente bisogno, ma non vorrei tirarla troppo per le lunghe).
Detto questo, penso anche io che sia meglio scriverlo esplicitamente.
Mmmm...forse ho capito la fregatura: correggimi se dico fesserie, Rigel 
Per definizione, $f$ è derivabile $n$ volte in $x_0$ se $f$ è derivabile $n-1$ volte in tale punto e $f^{(n-1)}$ è a sua volta derivabile in $x_0$. Quindi, in base a questa definizione, se $f$ è derivabile $n$ volte in $x_0$, necessariamente $x_0$ deve essere un p.d.a. di $\text{dom}f^{(n-1)}$, il che implica che in $\text{dom}f^{(n-1)}$ contiene un intorno $U$ di $x_0$. Giusto?
In che senso?
EDIT: probabilmente ho detto una cretinata...l'implicazione di cui parlo non sussiste. Il fatto che $f^{(n-1)}$ è definita in un intorno di $x_0$ è dovuto proprio alla definizione di derivata.
Per definizione, $f$ è derivabile $n$ volte in $x_0$ se $f$ è derivabile $n-1$ volte in tale punto e $f^{(n-1)}$ è a sua volta derivabile in $x_0$. Quindi, in base a questa definizione, se $f$ è derivabile $n$ volte in $x_0$, necessariamente $x_0$ deve essere un p.d.a. di $\text{dom}f^{(n-1)}$, il che implica che in $\text{dom}f^{(n-1)}$ contiene un intorno $U$ di $x_0$. Giusto? si può discutere sul fatto che ce ne sia veramente bisogno, ma non vorrei tirarla troppo per le lunghe
In che senso?
EDIT: probabilmente ho detto una cretinata...l'implicazione di cui parlo non sussiste. Il fatto che $f^{(n-1)}$ è definita in un intorno di $x_0$ è dovuto proprio alla definizione di derivata.
"Plepp":
Il fatto che $f^{(n-1)}$ è definita in un intorno di $x_0$ è dovuto proprio alla definizione di derivata.
Esatto (purché tu usi la definizione di derivata che si trova di norma sui libri di Analisi 1).
Come dicevo prima, secondo me è comunque meglio scrivere esplicitamente le ipotesi piuttosto che lasciarle implicite.
Condivido. Grazie Rigel
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo