Dubbio definizione di limite
Sarà anche una questione di lana caprina ma vorrei chiedervi aiuto per capire il senso della seguente cosa.
La definizione di limite è
Sia $A \subset R, A != 0$ Sia $f:A->R$ una funzione. Sia $x_0$ punto di accumulazione per A in R ampliato. Sia $L\in bar(R)$. Si dice che f(x) tende a l per x tendente a $x_0$ se:
$\forall V \in I_L, \exists U \in I_(x_0) t.c. \forall x \in U\cap A-{x_0} : f(x) \in V$
Perché si specifica che x deve appartenere a $U\cap A-{x_0}$? Non sarebbe sufficiente dire $\forall x \in U-{x_0}$ ? Se $x_0$ è un punto di accumulazione per A allora per definizione ho che comunque io consideri un suo intorno U avrò che $U\cap A-{x_0} != \empty$ Quindi tutti i punti di tutti gli intorni del punto di accumulazione preso in considerazione ( ad eccezione di se stesso) saranno già nel dominio A della funzione.
Si può omettere o mi sto perdendo qualcosa?
Vi ringrazio in anticipo,
Paolo.
La definizione di limite è
Sia $A \subset R, A != 0$ Sia $f:A->R$ una funzione. Sia $x_0$ punto di accumulazione per A in R ampliato. Sia $L\in bar(R)$. Si dice che f(x) tende a l per x tendente a $x_0$ se:
$\forall V \in I_L, \exists U \in I_(x_0) t.c. \forall x \in U\cap A-{x_0} : f(x) \in V$
Perché si specifica che x deve appartenere a $U\cap A-{x_0}$? Non sarebbe sufficiente dire $\forall x \in U-{x_0}$ ? Se $x_0$ è un punto di accumulazione per A allora per definizione ho che comunque io consideri un suo intorno U avrò che $U\cap A-{x_0} != \empty$ Quindi tutti i punti di tutti gli intorni del punto di accumulazione preso in considerazione ( ad eccezione di se stesso) saranno già nel dominio A della funzione.
Si può omettere o mi sto perdendo qualcosa?
Vi ringrazio in anticipo,
Paolo.
Risposte
Dipende cosa intendi con $I_(x_0)$, se intendi intorni in $A$ o in $RR$. Dato che $A$ lo prendi come sottoinsieme di $RR$ ci sta che consideri intorni in $RR$, quindi devi fare come nella definizione, se invece li prendi come intorni in $A$ devi fare come dici te.
"otta96":
Dipende cosa intendi con $I_(x_0)$, se intendi intorni in $A$ o in $RR$. Dato che $A$ lo prendi come sottoinsieme di $RR$ ci sta che consideri intorni in $RR$, quindi devi fare come nella definizione, se invece li prendi come intorni in $A$ devi fare come dici te.
Ah ok perché potrei prendere un intorno $U\subset R$ e $A \subset U$ e quindi non sarebbe vero che $\forall x \in U-{x_0}: f(x) \in V$ giusto? Invece l'intersezione mi garantisce sia vero per tutti i punti dell'intorno che appartengono anche al dominio.
Se d'altra parte stabilisco che tutti gli intorni che voglio prendere in considerazione sono contenuti in A allora il problema non si pone.
Più che altro non sarebbe vero (o meglio garantito) che $f(x)$ sia definita, però si, il resto l'hai detto bene.
sì giusto mi sono confuso.
Ti ringrazio!
Ti ringrazio!
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