Dubbio definizione derivata e differenziale in R^n
In $R^2$ abbiamo definito la derivata lungo una qualsiasi direzione $v!=0$ come il:
$lim_(t->0) (f(x+tv)-f(x_0))/t$ con $|t|
dove $x_0+tv$ è la retta passante per $x_0$ e parallela a $v$.
Al variare di $t$ ottengo tutte le retta parallele alla direzione $v$.
Il mio dubbio perché il differenziale lo trovo definito come:
$(f(x_0+h)-f(x_0)-df(x_0)(h))/||h||_n=0$ con $v in R^n,v!=0$
non dovrebbe essere
$(f(x_0+tv)-f(x_0)-df(x_0)(tv))/(|t|||v||_n)=0$ con $v in R^n,v!=0$
inoltre se ho capito bene, il differenziale è la variazione infinitesima ed è:
$df(x_0)(h)$ se il limite della definizione fa 0.
i due elementi che lo compongono $df(x_0)$ ed $h$ rappresentano uno il gradiente in $x_0$ $df(x_0)= Delta (x_0)$ ed $h$?, l'ampiezza?
sono equivalenti o sono due cose diverse?
$lim_(t->0) (f(x+tv)-f(x_0))/t$ con $|t|
dove $x_0+tv$ è la retta passante per $x_0$ e parallela a $v$.
Al variare di $t$ ottengo tutte le retta parallele alla direzione $v$.
Il mio dubbio perché il differenziale lo trovo definito come:
$(f(x_0+h)-f(x_0)-df(x_0)(h))/||h||_n=0$ con $v in R^n,v!=0$
non dovrebbe essere
$(f(x_0+tv)-f(x_0)-df(x_0)(tv))/(|t|||v||_n)=0$ con $v in R^n,v!=0$
inoltre se ho capito bene, il differenziale è la variazione infinitesima ed è:
$df(x_0)(h)$ se il limite della definizione fa 0.
i due elementi che lo compongono $df(x_0)$ ed $h$ rappresentano uno il gradiente in $x_0$ $df(x_0)= Delta (x_0)$ ed $h$?, l'ampiezza?
sono equivalenti o sono due cose diverse?
Risposte
A me è stato definito così:
Sia $df(x_0)[h]$ la derivata direzionale di $f$ nel punto $a$ nella generica direzione $h in RR^n : ||h|| = 1$. $df(x_0)$ si chiama differenziale se:
1) $df(x_0)$ è una applicazione lineare;
2) Vale la formula di approssimazione lineare, cioè:
$f(a + h) = f(a) + df(x_0)[h] + o(||h||)$ (*)
che è tanto come scrivere $lim_(h -> 0) (f(a + h) - f(a) - df(x_0)[h])/(||h||) = 0$ (di cui la (*) è la scrittura fuori dal segno di limite).
Sia $df(x_0)[h]$ la derivata direzionale di $f$ nel punto $a$ nella generica direzione $h in RR^n : ||h|| = 1$. $df(x_0)$ si chiama differenziale se:
1) $df(x_0)$ è una applicazione lineare;
2) Vale la formula di approssimazione lineare, cioè:
$f(a + h) = f(a) + df(x_0)[h] + o(||h||)$ (*)
che è tanto come scrivere $lim_(h -> 0) (f(a + h) - f(a) - df(x_0)[h])/(||h||) = 0$ (di cui la (*) è la scrittura fuori dal segno di limite).
A me, invece, la sotria è stata raccontata più o meno così (diciamo a la Fréchet).
Dato che i funzionali lineari su \(\mathbb{R}^N\) si rappresentano mediante vettori usando il prodotto scalare*, la precedente si può riscrivere dicendo che esiste un vettore \(\mathbf{u}(x_0)\in \mathbb{R}^N\) tale che:
\[
\lim_{|\mathbf{v}|\to 0} \frac{|f(x_0+\mathbf{v})-f(x_0)-\langle \mathbf{u}(x_0), \mathbf{v}\rangle|}{|\mathbf{v}|} =0\; .
\]
Prendendo \(\mathbf{v}=t\ \mathbf{e}^n\) per \(n=1,\ldots ,N\) (qui \(\mathbf{e}^n\) è lo \(n\)-esimo vettore della base canonica di \(\mathbb{R}^N\), i.e. \(\mathbf{e}^n =(\delta_k^n)\) con \(\delta_k^n\) di Kronecker), si riconosce che se una funzione è differenziabile in \(x_0\) allora esistono finiti gli \(N\) limiti:
\[
\lim_{t\to 0} \frac{f(x_0+t\ \mathbf{e}^n)-f(x_0)}{t} \qquad \text{, per } n=1,\ldots, N
\]
giacché risulta:
\[
\lim_{t\to 0} \frac{f(x_0+t\ \mathbf{e}^n)-f(x_0)}{t}=u_n (x_0) \qquad \text{, per } n=1,\ldots, N
\]
Ma allora è evidente che una funzione differenziabile in \(x_0\) è pure parzialmente derivabile in \(x_0\) rispetto a tutte le variabili da cui essa dipende e si ha:
\[
\frac{\partial f}{\partial x_n}(x_0) = u_n(x_0) \qquad \text{, per } n=1,\ldots, N \quad \Leftrightarrow \quad \nabla f(x_0) = \mathbf{u} (x_0).
\]
Peranto il differenziale di \(f\) non è altro che il funzionale lineare che si rappresenta mediante il prodotto scalare col vettore gradiente, i.e.:
\[
\text{d} f_{x_0}(\mathbf{v}) = \langle \nabla f(x_0),\mathbf{v}\rangle\qquad \text{, per } \mathbf{v}\in \mathbb{R}^N\; .
\]
Inoltre, con lo stesso tipo di ragionamento, si vede che se una funzione è differenziabile, essa è dotata di tutte le derivate direzionali (cioè è derivabile nel senso di Gâteaux) in \(x_0\): infatti, prendendo \(\mathbf{v} =t\ \mathbf{w}\), si trova:
\[
\lim_{t\to 0} \frac{f(x_0+t\ \mathbf{w}) -f(x_0)}{t} = \text{d} f_{x_0}(\mathbf{w})
\]
cioè:
\[
\frac{\partial f}{\partial \mathbf{w}} (x_0) = \langle \nabla f(x_0), \mathbf{w}\rangle\; .
\]
Questa impostazione ha il pregio di essere immediatamente generalizzabile alla derivazione e differenziazione di funzionali definiti su spazi di Banach (come quelli importanti nel Calcolo delle Variazioni).
__________
* Intendo che per ogni funzionale lineare \(L:\mathbb{R}^N\to \mathbb{R}\) esiste un unico vettore \(\mathbf{u}\in \mathbb{R}^N\) tale che \(L(\mathbf{v}) =\langle \mathbf{u},\mathbf{v}\rangle\) per ogni \(\mathbf{v}\in \mathbb{R}^N\) (qui \(\langle \cdot ,\cdot \rangle\) è il prodotto scalare di \(\mathbb{R}^N\)).
Si dice che una funzione \(f:\mathbb{R}^N\subseteq \Omega \to \mathbb{R}\) è differenziabile in un punto \(x_0\in \operatorname{int}\Omega\) se e solo se esiste un funzionale lineare \(L(x_0;\cdot ): \mathbb{R}^N\to \mathbb{R}\) tale che:
\[
\lim_{|\mathbf{v}|\to 0} \frac{|f(x_0+\mathbf{v})-f(x_0)-L(x_0; \mathbf{v})|}{|\mathbf{v}|} =0\; .
\]
Il funzionale \(L(x_0;\cdot)\) si chiama differenziale di \(f\) in \(x_0\) e si denota col simbolo \(\text{d}f_{x_0}\).
Dato che i funzionali lineari su \(\mathbb{R}^N\) si rappresentano mediante vettori usando il prodotto scalare*, la precedente si può riscrivere dicendo che esiste un vettore \(\mathbf{u}(x_0)\in \mathbb{R}^N\) tale che:
\[
\lim_{|\mathbf{v}|\to 0} \frac{|f(x_0+\mathbf{v})-f(x_0)-\langle \mathbf{u}(x_0), \mathbf{v}\rangle|}{|\mathbf{v}|} =0\; .
\]
Prendendo \(\mathbf{v}=t\ \mathbf{e}^n\) per \(n=1,\ldots ,N\) (qui \(\mathbf{e}^n\) è lo \(n\)-esimo vettore della base canonica di \(\mathbb{R}^N\), i.e. \(\mathbf{e}^n =(\delta_k^n)\) con \(\delta_k^n\) di Kronecker), si riconosce che se una funzione è differenziabile in \(x_0\) allora esistono finiti gli \(N\) limiti:
\[
\lim_{t\to 0} \frac{f(x_0+t\ \mathbf{e}^n)-f(x_0)}{t} \qquad \text{, per } n=1,\ldots, N
\]
giacché risulta:
\[
\lim_{t\to 0} \frac{f(x_0+t\ \mathbf{e}^n)-f(x_0)}{t}=u_n (x_0) \qquad \text{, per } n=1,\ldots, N
\]
Ma allora è evidente che una funzione differenziabile in \(x_0\) è pure parzialmente derivabile in \(x_0\) rispetto a tutte le variabili da cui essa dipende e si ha:
\[
\frac{\partial f}{\partial x_n}(x_0) = u_n(x_0) \qquad \text{, per } n=1,\ldots, N \quad \Leftrightarrow \quad \nabla f(x_0) = \mathbf{u} (x_0).
\]
Peranto il differenziale di \(f\) non è altro che il funzionale lineare che si rappresenta mediante il prodotto scalare col vettore gradiente, i.e.:
\[
\text{d} f_{x_0}(\mathbf{v}) = \langle \nabla f(x_0),\mathbf{v}\rangle\qquad \text{, per } \mathbf{v}\in \mathbb{R}^N\; .
\]
Inoltre, con lo stesso tipo di ragionamento, si vede che se una funzione è differenziabile, essa è dotata di tutte le derivate direzionali (cioè è derivabile nel senso di Gâteaux) in \(x_0\): infatti, prendendo \(\mathbf{v} =t\ \mathbf{w}\), si trova:
\[
\lim_{t\to 0} \frac{f(x_0+t\ \mathbf{w}) -f(x_0)}{t} = \text{d} f_{x_0}(\mathbf{w})
\]
cioè:
\[
\frac{\partial f}{\partial \mathbf{w}} (x_0) = \langle \nabla f(x_0), \mathbf{w}\rangle\; .
\]
Questa impostazione ha il pregio di essere immediatamente generalizzabile alla derivazione e differenziazione di funzionali definiti su spazi di Banach (come quelli importanti nel Calcolo delle Variazioni).
__________
* Intendo che per ogni funzionale lineare \(L:\mathbb{R}^N\to \mathbb{R}\) esiste un unico vettore \(\mathbf{u}\in \mathbb{R}^N\) tale che \(L(\mathbf{v}) =\langle \mathbf{u},\mathbf{v}\rangle\) per ogni \(\mathbf{v}\in \mathbb{R}^N\) (qui \(\langle \cdot ,\cdot \rangle\) è il prodotto scalare di \(\mathbb{R}^N\)).
Ah ok!!! Allora quel $f(x_0+h)$ che trovo nella definizione di differenziale è dovuto alla posizione $h=tv$ perché il differenziale è dotato di tutte le derivate direzionali!
"nunziox":
il differenziale è dotato di tutte le derivate direzionali!
Che vuol dire ciò?
mmm mi sa che ho scritto una stupidaggine 
cioè se è differenziabile la funzione è dotata di tutte le derivate direzionali quindi posso porre $tv=h$ indicando tutte le possibili direzioni... sbaglio?
cioè se è differenziabile la funzione è dotata di tutte le derivate direzionali quindi posso porre $tv=h$ indicando tutte le possibili direzioni... sbaglio?
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