Dubbio Cuspide

[Noel_91]

Salve a tutti! avrei un piccolo dubbio riguardante uno dei punti non derivabile ovvero la cuspide.

In alcuni testi viene scritto che nel punto di cuspide x=x0 la tangente è verticale per cui il coefficiente angolare è non definibile e quindi la derivata in quel punto è infinita ovvero la funzione non è derivabile. In altri testi (con il quale mi trovo più d'accordo) viene menzionato invece il fatto che in x0 la tangente non esiste mentre esistono le tangenti destra e sinistra che tendono entrambe alla direzione verticale ovvero esistono le derivate destra e sinistra che sono entrambe infinite (al di la del segno che dipende dal tipo di cuspide), mentre in x0, poiché la tangente non esiste, la derivata pure non esiste. Quali delle due affermazioni è giusta? Grazie mille a tutti!

[dovah01]

Sono d'accordo con te sulla seconda posizione. Infatti nella definizione da me studiata sulla derivabilità di una funzione si menziona il fatto che essa è derivabile se i due limiti (destro e sinistro) del rapporto incrementale esistono finiti e sono uguali. Altrimenti la funzione considerata non è derivabile nel punto preso in esame. Pertanto, poichè nella cuspide i due limiti sono infiniti, la retta tangente potrebbe esistere (come nel caso del flesso a tangente verticale) anche se la funzione non è derivabile nel punto per definizione, ma qui i limiti nemmeno coincidono, pertanto la tangente non esiste.

[Noel_91]

Anche io ho fatto il tuo stesso ragionamento, credo che quella di considerare la tangente verticale anche nella cuspide sia un modo un pò forzato di dire che le due tangenti (destra e sinistra) tendono alla direzione verticale parallela all'asse y, ma in realtà non c'è una vera e propria tangente al punto x0. Tra l'altro ciò mi torna anche fisicamente perché preso un qualsiasi punto materiale che percorra una cicloide, nel punto di cuspide presenta ambiguità della terna intrinseca. Aspetto comunque ulteriori commenti da qualcuno sicuramente più esperto di me in analisi.

[mazzarri1]

La cuspide è un punto in cui la derivata prima non esiste. La funzione li non è derivabile. Non esiste il limite del rapporto incrementale. Se fai il limite destro e sinistro della derivata trovi $+-infty$.

[Noel_91]

Ciao ti ringrazio, quindi è giusto dire che in corrispondenza del punto di cuspide non passa alcuna tangente verticale, ma ne esistono due (a destra e a sinistra di x0) per il quale è possibile affermare che le derivate destre e sinistre esistono ma sono infinite?