Dubbio convoluzione

[Fra19881]

Ciao a tutti... Ho un dubbio sulla convoluzione: da quel che ho capito la convoluzione ci indica "quanto una funzione si sovrappone a un altra al variare delle ascisse" . Se ho due qualsiasi funzioni come faccio a determinare l ampiezza della funzione convoluta? Ho pensato di moltiplicare fra di loro le ampiezze delle funzioni di partenza ma non ne sono sicuro...

[Hadronen]

Non ho ben capito la tua domanda...

Nel frattempo puo' essere utile richiamare la definizione...

$(f \star g)(x) = \int_-oo^oo f(x-t)g(t)dt $

[Fra19881]

Se io devo fare la convoluzione fra due segnali e poi disegnare cio che ottengo vorrei sapere sull asse delle ordinate come faccio a sapere quanto vale l'ampiezza massima; a me verrebbe da moltiplicare le due ampiezze dei segnali di partenza ma quell'integrale che è nella definizione mi confonde un po.

[Hadronen]

"Fra1988":Se io devo fare la convoluzione fra due segnali e poi disegnare cio che ottengo vorrei sapere sull asse delle ordinate come faccio a sapere quanto vale l'ampiezza massima; a me verrebbe da moltiplicare le due ampiezze dei segnali di partenza ma quell'integrale che è nella definizione mi confonde un po.

Solitamente si fa per casi... Ci saranno dei valori di $x$ per i quali le due funzioni non si sovrappongono ed altri nei quali invece si sovrappongono. Devi calcolare l'integrale in range di $x$ diversi.

Posso provare a farti capire con un esempio banale...

Prendiamo $\chi_(-1/2,1/2)(t)$ funzione caratteristica dell'intervallo $[-1/2,1/2]$ .

Calcoliamo $\chi \star \chi (x) = \int_-oo^oo \chi(x-t) chi(t) dt $

Ricordati sempre che la funzione che viene fatta muovere va ribaltata...
In questo caso comunque la funzione ribaltata e' uguale all'originale.

Da qui possiamo vedere che per $|x| > 1$ le due funzioni non si sovrappongono.

Mentre per $|x| < 1$ ... possiamo dividere in due casi:

• $-1
• $0
E' facile capirlo con un disegno, fondamentale in esercizi del genere.

Da cui abbiamo:

• $\int_(-1/2)^(x+1/2) dt = x+1$

• $\int_(x-1/2)^(1/2) dt = 1-x$

E dunque...

$ \chi \star \chi (x) = \{(x+1 \text{ se } x in [-1;0]), (1-x \text{ se } x in [0;1]), (0 \text{ altrimenti}) :}$ ... Un triangolino.

[Fra19881]

Questo l ho capito... Cio che vorrei sapere è se posso disegnare la funzione approssimativamente senza calcolarmi l' integrale. Mi spiego meglio: prendendo le due funzioni di partenza e disegnandole posso prevedere quale sara il risultato della convoluzione. Nell esempio che mi hai fatto tu l' ampiezza massima vale 1.... Potevo prevedere tale valore moltiplicando le ampiezze delle funzioni di partenza?

[Hadronen]

Forse per casi semplici ci si arriva a capire bene o male il risultato... Bisogna poi distinguere i casi semplici da calcolare e i casi semplici da immaginare.

In generale:
Prendi una delle due funzioni e la ribalti $f(x) = f(-x)$ ...
Aggiungi un offset di "tempo" $f(t-x)$ ...
Fai partire il "tempo" a $-oo$ e lo mandi fino a $+oo$ ...
Nei casi in cui le due funzioni (non nulle) si intersecano, l'integrale non è nullo.

Nel caso precedente non e' difficile giungere ad un risultato approssimato con un disegno... Si nota che le due funzioni si cominciano a sovrapporre ad $x=-1$ fino ad arrivare al punto $x=0$ in cui si ha il massimo della convoluzione, ovvero $1$, dopodiché per le successive $x$ decresce fino al momento in cui non si sovrappongono più.

[Fra19881]

Ok grazie:)