Dubbio convergenza uniforme

[shunsh]

Salve a tutti.
Avrei un "piccolo" dubbio e mi occorre una risposta.
Supponiamo di avere una successione di funzioni $f_{n}$ in $C^{0}(\Omega)$, che converge ad una funzione $f \in C^{0}(\Omega)$ nella norma uniforme (cioè $\lim_{n \rightarrow \infty} \max_{\Omega}|f_{n}(x)-f(x)|=0$), dove $\Omega$ è un aperto limitato.

Mi chiedevo se, per $p>0$, vale anche che
$|f_{n}|^{p} \rightarrow |f|^{p}$, sempre nella norma uniforme.


Ringrazio chiunque vorrà rispondere e chiarire questo mio dubbio.
E' probabile che sia una stupidaggine, ma per il momento non riesco proprio a risolverlo.

[ostrogoto1]

Piu' in generale in un qualsiasi spazio normato V (non solo nel caso dello spazio che tu citi) se una successione $ f_n $ converge cioe' $ EE f in V $ tale che $ || f_n-f ||rarr0" "nrarr+oo $ allora $ ||f_n||rarr||f|| $.

Infatti: $ | ||f_n|| -||f|| | <= ||f_n-f|| $ (le barrette esterne nel membro a sinistra sono il valore assoluto di quella quantita')

La disuguaglianza usata segue dalla disuguglianza triangolare della definizione di norma.

[shunsh]

Ok! Questo lo sapevo, ma non penso sia direttamente applicabile a questo caso...mi spiego
Dal fatto che $f_{n} \rightarrow f$ in $C^{0}(\Omega)$ abbiamo che
$\lim_{n \rightarrow \infty}\max_{\Omega} |f_{n}(x)-f(x)|=0$.

Quello che mi chiedevo è cosa fa il seguente limite:
$\lim_{n \rightarrow \infty} \max_{\Omega} ||f_{n}(x)|^{p} - |f(x)|^{p} $ |

in particolare il mio dilemma è se posso dire che tale limite va a zero.

[ostrogoto1]

$ ||f_n(x)|^p-(|f(x)|)^p|=|q(x)|*||f_n(x)|-|f(x)||<=|q(x)| |f_n(x)-f(x)|$
[l'uguaglianza vale alla stessa maniera in cui un polinomio $ (x^n-a^n)=q(x)(x-a) $ essendo $ (x^n-a^n) $ divisibile per $ (x-a) $ ]
Quindi applicando il sup alla disuguaglianza [perche' poi tu metti il Max su un intervallo aperto e per una funzione continua che potrebbe andare a $ oo $ all'estremo?] e il limite dovrebbe funzionare tenendo conto che q(x) resta naturalmente limitato.
Quindi il limite in questione e' 0...

[dissonance]

Io credo che la risposta sia affermativa se \(p>1\) e la funzione limite \(f\) è limitata. In quel caso, applicando la disuguaglianza
\[
\lvert a^p - b^p\rvert \le C_p \lvert a-b\rvert \left( \lvert a\rvert^{p-1} + \lvert b \rvert^{p-1}\right),\qquad \forall a, b\ge 0,\
\]
con \(a=\lvert f(x)\rvert,\ b=\lvert f_n(x)\rvert\), si ottiene
\[
\| \lvert f_n\rvert^p - \lvert f\rvert^p \|_\infty \le C(p, \|f\|_\infty) \|f_n-f\|_\infty
\]
e il risultato segue. Immagino sia sostanzialmente questo l'approccio proposto da ostrogoto.

Se però \(f\) non è limitata, o se \(0

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[Rigel1]

Come giustamente osserva dissonance, se \(f\) non è limitata non è detto che l'implicazione sia vera.
Prendi ad esempio \(f(x) = 1/x\), \(f_n(x) = 1/x + 1/n\), \(x>0\), hai che
\[
\sup_{x>0} |f_n(x) - f(x)| = \frac{1}{n} \to 0.
\]
D'altra parte, se \(p > 1\),
\[
\delta_n(x) := |f_n(x)^p - f(x)^p| = x^{-p} \left[\left(1+\frac{x}{n}\right)^p - 1\right]
\]
da cui
\[
\| f_n^p - f^p\|_{\infty} \geq \delta_n(n^{-1/(p-1)}) \to p.
\]