Dubbio convergenza serie
Salve a tutti!!
Non riesco a sciogliere questo dubbio: per la CONDIZIONE NECESSARIA PER LA CONVERGENZA sappiamo che se la serie An converge il limite della successione An, per n tendente, all'infinito è zero.
Perché allora il mio libro afferma anche che converge la serie di Mengoli quando il limite delle sue somme parziali per n tendente all'infinito è 1??? An (Mengoli)= 1/(n(n+1)).
Spero di essere stato chiaro, vi prego rispondete!!!
Non riesco a sciogliere questo dubbio: per la CONDIZIONE NECESSARIA PER LA CONVERGENZA sappiamo che se la serie An converge il limite della successione An, per n tendente, all'infinito è zero.
Perché allora il mio libro afferma anche che converge la serie di Mengoli quando il limite delle sue somme parziali per n tendente all'infinito è 1??? An (Mengoli)= 1/(n(n+1)).
Spero di essere stato chiaro, vi prego rispondete!!!
Risposte
Fermo! Devi distinguere il limite della successione, dal limite delle somme parziali...
Quindi la convergenza o meno del limite delle somme parziali che cosa mi dice della serie?
Il limite delle somme parziali è il risultato stesso della serie.
Prendi $1/n$
$lim_{n to infty} 1/n=0$
ma
$1/1+1/2+1/3+1/4+...=+infty$
Il primo è il limite della successione... Per capire il limite delle somme parziali, ti conviene capire cosa sono le somme parziali:
Per n=1: $1/1$
per n=2: $1/1+1/2$
per n=3: $1/1+1/2+1/3$
per n=k: $1/1+1/2+...+1/k$
si chiamano somme parziali proprio perchè tu stai calcolando la sommatoria parzialmente, cioè fermandoti ad un indice (diciamo k), al posto di calcolarla tutta, che sarebbe impossibile data l'infinità di addendi. Per ovviare questo problema, io la calcolo "parzialmente" fino a $k$, poi vedo cosa succede se k tende a infinito, quindi calcolo $lim_{k to infty} \sum_{n=1}^{k} 1/n$, che poi è proprio come scrivere $\sum_{n=1}^{infty} 1/n$...
chiaro?
$lim_{n to infty} 1/n=0$
ma
$1/1+1/2+1/3+1/4+...=+infty$
Il primo è il limite della successione... Per capire il limite delle somme parziali, ti conviene capire cosa sono le somme parziali:
Per n=1: $1/1$
per n=2: $1/1+1/2$
per n=3: $1/1+1/2+1/3$
per n=k: $1/1+1/2+...+1/k$
si chiamano somme parziali proprio perchè tu stai calcolando la sommatoria parzialmente, cioè fermandoti ad un indice (diciamo k), al posto di calcolarla tutta, che sarebbe impossibile data l'infinità di addendi. Per ovviare questo problema, io la calcolo "parzialmente" fino a $k$, poi vedo cosa succede se k tende a infinito, quindi calcolo $lim_{k to infty} \sum_{n=1}^{k} 1/n$, che poi è proprio come scrivere $\sum_{n=1}^{infty} 1/n$...
chiaro?
Ok, gentilissimo! Quindi l'ultimo limite che hai scritto è il limite delle somme parziali fino a k e la sommatoria che hai scritto dopo il risultato della serie. Giusto?
Sì. Ma ricorda che il limite delle somme parziali È il risultato della serie
Grazie infinite!
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