Dubbio convegenza integrale improprio

[marck1806]

mi sono imbattuto in questo integrale improprio...

$\int_1^infty arctan(x^(alpha)/(1+x^2))dx$

e nell'esercizio mi si chiede di determinare per quali valori di α>0 l'integrale converge

ho ragionato in questo modo:
per x->infty $arctan(x^(alpha)/(1+x^2))$ si comporta come $(1/(1+x^(2-alpha)))$

che posso ricondurre alla serie armonica generalizzata $(1/(x^(alpha)))$ che converge per α>1
nel caso in esame 2-α>1, quindi α<1...
posso quindi concludere che l'integrale converge per 0< α<1

giusto?

[ciampax]

Non è assolutamente vero quello che dici! L'argomento dell'arcotangente si comporta come [tex]$x^{\alpha-2}$[/tex], pertanto

[tex]$\lim_{x\to+\infty}x^{\alpha-2}=\left\{\begin{array}{lcl}
+\infty & & \alpha>2\\ 1 & & \alpha=2\\ 0^+ & & 0<\alpha<2
\end{array}\right.$[/tex]

e quindi

[tex]$\arctan\left(\frac{x^\alpha}{1+x^2}\right)\sim\left\{\begin{array}{lcl}
\frac{\pi}{2} & & \alpha>2\\ \frac{\pi}{4} & & \alpha=2\\ \frac{1}{x^{2-\alpha}} & & 0<\alpha<2
\end{array}\right.$[/tex]

Nei primi due casi la funzione non è infinitesima all'infinito, per cui l'integrale diverge. Nel terzo caso, affinché [tex]$\frac{1}{x^{2-\alpha}}$[/tex] sia integrabile all'infinito deve essere [tex]$2-\alpha>1\ \Rightarrow\ \alpha<1$[/tex]. Pertanto l'integrale converge se e solo se [tex]$0<\alpha<1$[/tex].