Dubbio continuità

[4mrkv]

Ho una funzione \(f:[a,b]\rightarrow \mathbb{C}\) uniformemente continua. Posto \(\epsilon=1\) allora esiste \(\delta_{1}\) t.c. \(|f(s)-f(t)|<1\) se \(|s-t|<\delta_{1}\). Posto \(\epsilon=1/2\) vorrei trovare \(\delta_{2}\) t.c. \(|f(s)-f(t)|<\epsilon\) se \(|s-t|<\delta_{2}\) e \(\delta_{2}<\delta_{1}\). Così per ogni \(m \in \mathbb{N}\) di \(\epsilon=1/m\). Considero \(m=2\). Se si ha già \(\delta_{2}<\delta_{1}\) sono a posto.

Altrimenti dato che \(|s-t|<\delta_{2}\) posso pensare che l'insieme dei punti che soddisfano tale condizione appartengano a \(B(t,\delta_{2})\) e \(B(t,\delta_{1})\subset B(t,\delta_{2})\). Scelto \(s \in B(t,\delta_{1}),s\neq t\) pongo \(k=|s-t|\) ed esiste \(\tilde \delta_{2}\) t.c. \(k<\tilde \delta_{2}<\delta_{1}\) quindi \(\tilde \delta_{2}\) è il numero che cerco. Ha senso? Si può fare meglio? Il libro dice che si fa in modo *induttivo*.

[dissonance]

MA questa è una cazzata, dai. E' chiaro che se a un certo punto ti esce un $\delta_{k+1}$ più grande di $\delta_k$ (il che - per inciso - significa che potevi scegliere meglio $\delta_k$ al passo precedente), ti basta sostituire $\delta_{k+1}$ con $\delta_k$ e sei a posto.

In generale se le cose vanno bene per un certo $\delta$ vanno bene anche per tutti i $\delta'$ più piccoli.

[4mrkv]

Ci ho già provato. Se \(\delta_{k}<\delta_{k+1}\) allora \(\delta_{k}\) va bene anche per \(\epsilon_{k+1}=1/(k+1)\) infatti \(|s-t|<\delta_{k}<\delta_{k+1}\). Il numero \(\delta_{k+1}\) però non va bene per \(\epsilon_{k}=1/k\). Non è così? Sto studiando la parte sugli integrali del libro di analisi complessa del Conway ed è pieno di \(\epsilon\)-\(\delta\)