Dubbio con serie telescopica

[Vito L]

Ragazi ho un dubbio su questo passaggio..

Si consideri la successione ${ln((n+1)/n)} _(n>=1)$.La serie corrispondente diverge positivamente poichè è una serie telescopica, con $\Sm= sum_{n=1}^m ( ln(n+1)-ln(n))=ln(m+1)$

Non capisco il perchè dell'ultimo passaggio.
Grazie mille
Vito L

[gugo82]

Scrivi esplicitamente quella sommatoria...

[Vito L]

"gugo82":Scrivi esplicitamente quella sommatoria...

continuo a non capire gugo che significa scrivere esplicitamente la sommatoria??

[ciampax]

Scrivi esplicitamente cosa viene furoi dalla sommatoria man mano che sostituisci $n=1, 2, 3...$. Lo sai che $\sum_{n=1}^m a_n=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_m$?

[Vito L]

"ciampax":Scrivi esplicitamente cosa viene furoi dalla sommatoria man mano che sostituisci $n=1, 2, 3...$. Lo sai che $\sum_{n=1}^m a_n=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_m$?

Questo si ok allora dovrei avere $\(ln(2)−ln(1))+(ln(3)-ln(2))+(ln(4)-ln(3))+...+(ln(m+1)-ln(m))$

Penso di essere nella strada giusta mi sembra però si tolgano tutti i termini tranne ln(m+1)

Quindi ho risolto!


Grazie mille a tutti e due
Vito L

[gugo82]

Esatto.

In generale una serie \(\sum a_n\) si chiama telescopica se la successione degli addendi è del tipo:
\[
a_n =\alpha_{n+1} -\alpha_n\; ;
\]
in tal caso, la \(N\)-esima somma parziale della serie è:
\[
\sum_{n=0}^N a_n = \alpha_{N+1}-\alpha_0\; .
\]
N.B.: questo tipo di serie è uno dei pochi (con la serie geometrica) di cui si sappiano calcolare esplicitamente le somme parziali.

[Vito L]

"gugo82":Esatto.

In generale una serie \(\sum a_n\) si chiama telescopica se la successione degli addendi è del tipo:
\[
a_n =\alpha_{n+1} -\alpha_n\; ;
\]
in tal caso, la \(N\)-esima somma parziale della serie è:
\[
\sum_{n=0}^N a_n = \alpha_{N+1}-\alpha_0\; .
\]
N.B.: questo tipo di serie è uno dei pochi (con la serie geometrica) di cui si sappiano calcolare esplicitamente le somme parziali.

Chiarissimi grazie mille