Dubbio con relazioni d'ordine

[Gmork]

Salve,

vorrei capire perchè è vera la seguente affermazione:

$|\sin x-\sin y|\le |x-y|$ $\forall x,y \in \mathbb{R}$

[Rigel1]

Puoi, ad esempio, applicare il teorema di Lagrange.

[Gmork]

qualcosa di più semplice?

io per esempio ho fatto questo ragionamento ma non so se è giusto:

$\sin x $\sin y
se a $\sin x
$\sin x-\sin y
$\sin x-\sin y
che ne dite? regge?

[Rigel1]

No, per niente.
Intanto non è vero che $\sin x < x$ per ogni $x\in RR$; tale relazione vale solo per $x>0$.
Inoltre, anche supponendo $y>0$, da $\sin y < y$ deduci che
$x-\sin y > x - y$.

[Gmork]

Vero.

allora provo a fare un altro ragionamento:

$\sin x-\sin y=2\sin \frac{x-y}{2}\cos \frac{x+y}{2}$

ma non so poi legarlo alla conclusione T_T

[blackbishop13]

sai per caso cos'è una funzione Lipschitziana?
perchè ciò che cerchi di dimostrare è proprio che la funzione seno è Lipschitziana di costante $1$.

comunque dimostrare questa cosa con il teorema di Lagrange è molto veloce.
perchè non vuoi usarlo?

[Rigel1]

@orlok:
se vuoi ci puoi arrivare anche dall'uguaglianza trigonometrica che hai scritto, tenendo poi conto del fatto che
$|\sin t| \le |t|$ e $|\cos t| \le 1$ per ogni $t\in RR$.

[Gmork]

Ci provo allora....

Sia $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ e, nel nostro caso, $f(x)=\sin x$

Per il Teorema di Lagrange $\exists c\in$ $(a , b)$ $: f'(c)=\frac{\sin a - \sin b}{a-b}=\cos(c)$

a questo punto....suggerimenti? :O

[Rigel1]

Diciamo che $x $|\sin x - \sin y| = |\cos (c)|\cdot |x-y|$.
Adesso basta osservare che $|\cos(c)| \le 1$.

[Gmork]

Ah capito...

perchè risulta così che:

$|\sin x - \sin y|=|\cos (c)||x-y|\le |x-y|$

giusto?

[Rigel1]

Sì.