Dubbio con rapporto incrementale e suo limite
Salve,
Volevo sapere se ho capito bene un concetto che ora vi espongo.....
Supponiamo di avere la funzione $f(x)=x^\alpha$ con [tex]\alpha \in \mathbb{R}[/tex]-${0}$
Fissato un $x_0=0$ e considero $\alpha>0$ , il suo rapporto incrementale diventa $\frac{(x_{0}+h)^{\alpha}-x_0}{h}=\frac{h^{\alpha}}{h}=h^{\alpha-1}$
Se ne calcolo il limite per $h \to 0$ tale limite varia a seconda del valore di $\alpha$ . In particolare avrò che se $\alpha>1$ tale limite è $0$; se $\alpha=1$ tale limite è $1$ ; se $0<\alpha<1$ $(\alpha=\frac{1}{n})$ dobbiamo discernere se $n$ è pari o dispari in quanto se $n$ è pari allora il limite del rapporto incrementale con $x_0=0$ può essere calcolato solo dalla destra; mentre sempre con $x_0=0$ se $n$ è dispari il limite del rapporto incrementale può essere calcolato sia dalla sinistra che dalla destra.
Volevo chiedervi se per voi quanto ho scritto risulta corretto. Grazie
Volevo sapere se ho capito bene un concetto che ora vi espongo.....
Supponiamo di avere la funzione $f(x)=x^\alpha$ con [tex]\alpha \in \mathbb{R}[/tex]-${0}$
Fissato un $x_0=0$ e considero $\alpha>0$ , il suo rapporto incrementale diventa $\frac{(x_{0}+h)^{\alpha}-x_0}{h}=\frac{h^{\alpha}}{h}=h^{\alpha-1}$
Se ne calcolo il limite per $h \to 0$ tale limite varia a seconda del valore di $\alpha$ . In particolare avrò che se $\alpha>1$ tale limite è $0$; se $\alpha=1$ tale limite è $1$ ; se $0<\alpha<1$ $(\alpha=\frac{1}{n})$ dobbiamo discernere se $n$ è pari o dispari in quanto se $n$ è pari allora il limite del rapporto incrementale con $x_0=0$ può essere calcolato solo dalla destra; mentre sempre con $x_0=0$ se $n$ è dispari il limite del rapporto incrementale può essere calcolato sia dalla sinistra che dalla destra.
Volevo chiedervi se per voi quanto ho scritto risulta corretto. Grazie
Risposte
Ah ecco perché ti stavi interrogando sul dominio di $root(n)$, nell'altra discussione. Tieni conto che ogni autore usa convenzioni diverse, guarda questa discussione per farti una idea. In genere si conviene che la potenza ad esponente reale sia definita solo quando la base è positiva, a meno che l'esponente non sia razionale: in quest'ultimo caso si considera l'esponente ridotto ai minimi termini e, se il denominatore è dispari (in particolare se l'esponente è un intero), la potenza è definita anche per basi negative. Tutto molto artificiale ma purtroppo di meglio non si può fare.
Quindi l'idea di fondo di quello che dici è corretta; ma attenzione a esprimerti meglio: ad esempio è brutto dire
Quindi l'idea di fondo di quello che dici è corretta; ma attenzione a esprimerti meglio: ad esempio è brutto dire
- fissato un $x_0=0$[/list:u:1j87fmfk]
se $x_0=0$, scrivi direttamente lo $0$ senza introdurre un inutile simbolo in più;
- se $0
Quindi tra 0 e 1 oltre a starci una infinità numerabile di razionali, ci stanno pure gli irrazionali.....anch'essi una infinità numerabile?
Nein! Gli irrazionali in un intervallo sono una infinità più che numerabile e devi saperlo dimostrare da solo (è molto facile tra l'altro, basta ricordare che i reali contenuti in un qualsiasi intervallo formano una infinità più che numerabile).
Ma perché quindi? Questo fatto non discende in alcun modo da quanto detto al post precedente. Non ti fare strane idee!
Ma perché quindi? Questo fatto non discende in alcun modo da quanto detto al post precedente. Non ti fare strane idee!
Si si lo so che non c'entra nulla 
era solo per ricordare alcune proprietà....dunque... è giusto dire che l'intervallo [0,1] ha la potenza del continuo intanto?
era solo per ricordare alcune proprietà....dunque... è giusto dire che l'intervallo [0,1] ha la potenza del continuo intanto?
Yes. Ad esempio l'applicazione $x\in (0, 1) \mapsto f(x)=frac{1/2-x}{x(x-1)}$ è una bigezione di $(0, 1)$ su $RR$.
[asvg]xmin=0; xmax=1;ymin=-25;ymax=25; axes("label"); plot("(-x+1/2)/(x*(x-1))");[/asvg]
[EDIT] Era: $x \in [0, 1] \mapsto f(x)=(\ldots)$. Errore: $f(0), f(1)$ non sono definiti. Quindi questa applicazione mostra come $(0, 1)$, e non $[0, 1]$, abbia la potenza del continuo.
[asvg]xmin=0; xmax=1;ymin=-25;ymax=25; axes("label"); plot("(-x+1/2)/(x*(x-1))");[/asvg]
[EDIT] Era: $x \in [0, 1] \mapsto f(x)=(\ldots)$. Errore: $f(0), f(1)$ non sono definiti. Quindi questa applicazione mostra come $(0, 1)$, e non $[0, 1]$, abbia la potenza del continuo.
@ dissonance: Magari devi escludere gli estremi...
Grazie mille Gugo, ho corretto. I soliti errori miei. Devo imparare a stare più attento quando scrivo.
Quindi, ricapitolando, se come $\alpha$ mi dovesse capitare un irrazionale, il limite del rapporto incrementale, scelto come punto $x=0$, lo posso sempre calcolare sia dalla destra che dalla sinistra, giusto?
Mentre sia che io abbia [tex]f(x)=\sqrt[3] {x}[/tex] che $f(x)=\sqrt x$ in entrambi i casi la derivata in $x=0$ non esiste, giusto?
EDIT: e se percaso do ad $\alpha$ la possibilità di essere qualsiasi Reale, l'insieme di definizione qual'è?
scusate le troppe domande e grazie.
Mentre sia che io abbia [tex]f(x)=\sqrt[3] {x}[/tex] che $f(x)=\sqrt x$ in entrambi i casi la derivata in $x=0$ non esiste, giusto?
EDIT: e se percaso do ad $\alpha$ la possibilità di essere qualsiasi Reale, l'insieme di definizione qual'è?
scusate le troppe domande e grazie.
"Orlok":Veramente abbiamo appena finito di dire il contrario.
Quindi, ricapitolando, se come $\alpha$ mi dovesse capitare un irrazionale, il limite del rapporto incrementale, scelto come punto $x=0$, lo posso sempre calcolare sia dalla destra che dalla sinistra, giusto?
Senti, comunque sia la questione è mal posta. Riformuliamo con maggiore precisione.
Abbiamo una funzione [tex]f(x)=x^\alpha,\ \alpha>0[/tex] [size=75](*)[/size]. Conveniamo che questa è definita in:
[tex]\begin{cases} (-\infty, +\infty) & \alpha \in \mathbb{N}\ \mathrm{oppure}\ \alpha=\frac{p}{q}\ p, q\in \mathbb{N} \ \text{primi tra loro,}\ q\ \mathrm{dispari} \\
[0, +\infty) & \mathrm{altrimenti}\end{cases}[/tex].
In ogni caso chiamiamo [tex]I[/tex] l'insieme di definizione di [tex]f[/tex]. Prendiamo [tex]x_0 \in I[/tex]: è chiaro che l'insieme di definizione del rapporto incrementale [tex]\Delta_{x_0} f(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/tex] è [tex]I \setminus \{x_0\}[/tex], ovvero per [tex]x_0=0[/tex]
[tex]\begin{cases} (-\infty, +\infty) \setminus \{0\} & \alpha \in \mathbb{N}\ \mathrm{oppure}\ \alpha=\frac{p}{q}\ p, q\in \mathbb{N} \ \text{primi tra loro,}\ q\ \mathrm{dispari} \\
[0, +\infty) \setminus \{0\}& \mathrm{altrimenti}\end{cases}[/tex].
Fine.
_______________
(*) Il caso [tex]\alpha<0[/tex] si tratta alla stessa maniera. Attenzione però ad escludere sempre lo [tex]0[/tex] dall'insieme di definizione.
quindi se ho capito bene se prendo come $\alpha$ un irrazionale (quindi un numero del tipo $\frac{m}{n}$ con $m,n$ NON primi tra loro, l'insieme di definizione di $f(x)=x^\alpha$ è $[0,+\infty)$ Giusto?
"Orlok":Aaargh!!!
...$\alpha$ un irrazionale (quindi un numero del tipo $\frac{m}{n}$ con $m,n$ NON primi tra loro)
Quindi secondo te $2/4$ è un numero irrazionale? Rifletti bene prima di scrivere. E non perdere troppo la testa dietro queste convenzioni: appunto sono solo convenzioni.
Aspetta, perchè mi sto un pò confondendo.... 
se un razionale è un numero del tipo $\frac{m}{n}$ con $m,n$ primi tra loro....un irrazionale si può scrivere solo con la sua mantissa?
se un razionale è un numero del tipo $\frac{m}{n}$ con $m,n$ primi tra loro....un irrazionale si può scrivere solo con la sua mantissa?
No, no. Ti fa confondere questa convenzione di definire le potenze come $x^{1/3}$ anche per $x$ negative, mentre $x^{1/2}$ non è definita per $x$ negative. Il punto è che ogni numero razionale non ha un'unica espressione sotto forma di frazione: $1/2=2/4=(-7)/(-14)$ e così via. Però si può dimostrare (ed è un esercizio base di Algebra che conviene saper fare, conseguenza immediata del Teorema di fattorizzazione unica di $ZZ$) che ogni numero razionale ha esattamente due espressioni (che coincidono a meno del segno) come frazione $m/n=(-m)/(-n)$ dove $m, n$ sono numeri interi primi tra loro.
Quando parliamo di elevamento a potenza, noi vogliamo che sia definito per $x$ negative se a denominatore c'è un numero dispari, come ad esempio nel caso di $x^(1/3)$, perché è una cosa consistente e può tornare comoda (ma neanche tanto a dire la verità). Uno però può obiettare: va bene, ma $x^{1/3}=x^{2/6}$ che ha denominatore pari. Come la mettiamo?
E' chiaro però che l'obiezione è priva di fondamento, perché è stato fatto solo un giochetto con gli esponenti. Risulta che la maniera matematica di dire la frase precedente è proprio quella formula con $p/q$ primi tra loro:
$x^{p/q}$ è definito per $x$ negative se $p, q$ sono primi tra loro e $q$ è dispari.
Se preferisci puoi anche dire:
$x^{p/q}$ è definito per $x$ negative se la frazione $p/q$ è ridotta ai minimi termini e $q$ è dispari.
Va meglio ora?
Quando parliamo di elevamento a potenza, noi vogliamo che sia definito per $x$ negative se a denominatore c'è un numero dispari, come ad esempio nel caso di $x^(1/3)$, perché è una cosa consistente e può tornare comoda (ma neanche tanto a dire la verità). Uno però può obiettare: va bene, ma $x^{1/3}=x^{2/6}$ che ha denominatore pari. Come la mettiamo?
E' chiaro però che l'obiezione è priva di fondamento, perché è stato fatto solo un giochetto con gli esponenti. Risulta che la maniera matematica di dire la frase precedente è proprio quella formula con $p/q$ primi tra loro:
$x^{p/q}$ è definito per $x$ negative se $p, q$ sono primi tra loro e $q$ è dispari.
Se preferisci puoi anche dire:
$x^{p/q}$ è definito per $x$ negative se la frazione $p/q$ è ridotta ai minimi termini e $q$ è dispari.
Va meglio ora?
Ok, quì ci siamo: se prendo $\alpha$ naturale o razionale tra 0 e 1 $\frac{m}{n}$ con $m,n$ primi tra loro ed $n$ dispari, la funzione $f(x)=x^\alpha$ è definita su tutto [tex]\mathbb{R}[/tex]. Mentre è definita su $\[0,+\infty)$ se prendo come esponente o un irrazionale oppure un razionale avente denominatore pari con $\alpha \in (0,1)$ . Dico bene?
(domanda: ma per $0<\alpha<1$ irrazionale si intende ad esempio $f(x)=x^{0,416516...}$ o c'è una forma compatta per esprimere un irrazionale com esponente?)
(domanda: ma per $0<\alpha<1$ irrazionale si intende ad esempio $f(x)=x^{0,416516...}$ o c'è una forma compatta per esprimere un irrazionale com esponente?)
OK. Per la seconda domanda la risposta è no. Il fatto che un numero stia in un esponente non significa che ci siano forme diverse per scriverlo.
Ok. Adesso torniamo alla questione della derivata in $x_0=0$.
Quando vado a calcolare il limite del rapporto incrementale e siamo nel caso in cui $\alpha>1 \Rightarrow \lim_{x\to 0}$ [tex]\Delta_{x_{0}} f(x)=0[/tex] ; se $\alpha=1 \Rightarrow \lim_{x\to 0}$ [tex]\Delta_{x_0} f(x)=1[/tex]; se $0
[tex]\begin{cases} (-\infty, +\infty) & \alpha \in \mathbb{N}\ \mathrm{oppure}\ \alpha=\frac{p}{q}\ p, q\in \mathbb{N} \ \text{primi tra loro,}\ q\ \mathrm{dispari} \\
[0, +\infty) & \mathrm{altrimenti}\end{cases}[/tex].
E se $I$ è l'insieme di definizione di uno dei due casi allora l'insieme di definizione di [tex]\Delta_{x_0} f(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/tex] sarà [tex]I \setminus \{x_0\}[/tex].
Ma ora mi chiedo.... se per esempio ho $f(x)=\sqrt x$ e [tex]f(x)=\sqrt[3] {x}[/tex] il limite del rapporto incrementale (quindi la derivata) nel punto $x_0=0$ (in cui per $f(x)=\sqrt x$ l'ho calcolato solo da destra) in entrambi i casi non esiste, giusto?
Quando vado a calcolare il limite del rapporto incrementale e siamo nel caso in cui $\alpha>1 \Rightarrow \lim_{x\to 0}$ [tex]\Delta_{x_{0}} f(x)=0[/tex] ; se $\alpha=1 \Rightarrow \lim_{x\to 0}$ [tex]\Delta_{x_0} f(x)=1[/tex]; se $0
[tex]\begin{cases} (-\infty, +\infty) & \alpha \in \mathbb{N}\ \mathrm{oppure}\ \alpha=\frac{p}{q}\ p, q\in \mathbb{N} \ \text{primi tra loro,}\ q\ \mathrm{dispari} \\
[0, +\infty) & \mathrm{altrimenti}\end{cases}[/tex].
E se $I$ è l'insieme di definizione di uno dei due casi allora l'insieme di definizione di [tex]\Delta_{x_0} f(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/tex] sarà [tex]I \setminus \{x_0\}[/tex].
Ma ora mi chiedo.... se per esempio ho $f(x)=\sqrt x$ e [tex]f(x)=\sqrt[3] {x}[/tex] il limite del rapporto incrementale (quindi la derivata) nel punto $x_0=0$ (in cui per $f(x)=\sqrt x$ l'ho calcolato solo da destra) in entrambi i casi non esiste, giusto?
Giusto.
Ma allora se è così.... a che serve riflettere tanto sul calcolare il limite per $x\to 0^+$ o $x\to 0$ del rapporto incrementale quando $\alpha \in (0,1)$ se in ogni caso la derivata in quel punto (ossia in $x_0=0$ )non esiste?
Questa domanda falla a te stesso: sei tu che hai sollevato tutto questo polverone.
Infatti Cioè mi sembra solo una puntualizzazione che serve solo da ripasso del concetto di limite di una funzione. 
Grazie della pazienza comunque
Cioè mi sembra solo una puntualizzazione che serve solo da ripasso del concetto di limite di una funzione. Grazie della pazienza comunque
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo