Dubbio con la trasformata di Laplace
Ciao a tutti,
Sto studiando la trasformata di Laplace e in un libro di esercizi ho trovato il seguente:
[size=130]\(\displaystyle \qquad(1)\,\,\, \mathcal{L} \left \{ \cos(at) \right \} = \int_0^\infty e^{-st}\cos(at)\,\text{d}t \)[/size]
La risoluzione usa il metodo di integrazione per parti, e fin qui nessun problema.
Premetto che non ho ancora studiato analisi complessa (solo numeri complessi), però mi è venuta una curiosità:
Sfruttando la proprietà:
[size=130]\(\displaystyle \cos(x) = { e^{\text{i}x} + e^{-\text{i}x} \over 2} \)[/size]
riscrivo l'integrale così:
[size=130]\(\displaystyle \qquad(2)\,\,\, \mathcal{L} \left \{ \cos(at) \right \} = \int_0^\infty e^{-st}\left(e^{\text{i}at} + e^{-\text{i}at} \over 2 \right )\,\text{d}t \)[/size]
però, considerando che la variabile \(\displaystyle s \) è complessa:
[size=130]\(\displaystyle s = \sigma \pm \text{i}\omega \)[/size]
si potrebbe riscrivere l'integrale cosi
[size=130]\(\displaystyle \qquad(3)\,\,\, \mathcal{L} \left \{ \cos(at) \right \} = \int_0^\infty e^{-st}\cos(at)\,\text{d}t = \int_0^\infty e^{-st}\left(e^{sat} + e^{-sat} \over 2 \right )\,\text{d}t \)[/size]
o sbaglio
Altrimenti come posso riscrivere l'integrale nella forma corretta ?
Ringrazio in anticipo.
Sto studiando la trasformata di Laplace e in un libro di esercizi ho trovato il seguente:
[size=130]\(\displaystyle \qquad(1)\,\,\, \mathcal{L} \left \{ \cos(at) \right \} = \int_0^\infty e^{-st}\cos(at)\,\text{d}t \)[/size]
La risoluzione usa il metodo di integrazione per parti, e fin qui nessun problema.
Premetto che non ho ancora studiato analisi complessa (solo numeri complessi), però mi è venuta una curiosità:
Sfruttando la proprietà:
[size=130]\(\displaystyle \cos(x) = { e^{\text{i}x} + e^{-\text{i}x} \over 2} \)[/size]
riscrivo l'integrale così:
[size=130]\(\displaystyle \qquad(2)\,\,\, \mathcal{L} \left \{ \cos(at) \right \} = \int_0^\infty e^{-st}\left(e^{\text{i}at} + e^{-\text{i}at} \over 2 \right )\,\text{d}t \)[/size]
però, considerando che la variabile \(\displaystyle s \) è complessa:
[size=130]\(\displaystyle s = \sigma \pm \text{i}\omega \)[/size]
si potrebbe riscrivere l'integrale cosi
[size=130]\(\displaystyle \qquad(3)\,\,\, \mathcal{L} \left \{ \cos(at) \right \} = \int_0^\infty e^{-st}\cos(at)\,\text{d}t = \int_0^\infty e^{-st}\left(e^{sat} + e^{-sat} \over 2 \right )\,\text{d}t \)[/size]
o sbaglio
Altrimenti come posso riscrivere l'integrale nella forma corretta ? Ringrazio in anticipo.
Risposte
Ovviamente no: devi fare il prodotto tra $e^{-(\sigma\pm i\omega)t}$ e la forma complessa del coseno.
Giusto.
\(\displaystyle \begin{aligned}
& \mathcal{L} \left \{ \cos(at) \right \} = \int_0^\infty e^{-st}\cos(at)\,\text{d}t = \\
& \int_0^\infty e^{-st}\left(e^{\text{i}at} + e^{-\text{i}at} \over 2 \right )\,\text{d}t = \\
& \int_0^{\infty} {e^{(-s + \text{i}a)t} \over 2} \,\text{d}t + \int_0^{\infty} {e^{(-s - \text{i}a)t} \over 2 }\,\text{d}t = \\
& {1 \over 2} \left ( \lim_{t \to \infty} {e^{(-s + \text{i}a)t} \over (-s + \text{i}a)} - \lim_{t \to 0} {e^{(-s + \text{i}a)t} \over (-s + \text{i}a)} \right ) + {1 \over 2} \left ( \lim_{t \to \infty} {e^{(-s - \text{i}a)t} \over (-s - \text{i}a)} - \lim_{t \to 0} {e^{(-s - \text{i}a)t} \over (-s - \text{i}a)} \right ) = \\
& {1 \over 2(s -\text{i}a)} + {1 \over 2(s + \text{i}a)} = {s \over s^2 + a^2}
\end{aligned} \)
\(\displaystyle \begin{aligned}
& \mathcal{L} \left \{ \cos(at) \right \} = \int_0^\infty e^{-st}\cos(at)\,\text{d}t = \\
& \int_0^\infty e^{-st}\left(e^{\text{i}at} + e^{-\text{i}at} \over 2 \right )\,\text{d}t = \\
& \int_0^{\infty} {e^{(-s + \text{i}a)t} \over 2} \,\text{d}t + \int_0^{\infty} {e^{(-s - \text{i}a)t} \over 2 }\,\text{d}t = \\
& {1 \over 2} \left ( \lim_{t \to \infty} {e^{(-s + \text{i}a)t} \over (-s + \text{i}a)} - \lim_{t \to 0} {e^{(-s + \text{i}a)t} \over (-s + \text{i}a)} \right ) + {1 \over 2} \left ( \lim_{t \to \infty} {e^{(-s - \text{i}a)t} \over (-s - \text{i}a)} - \lim_{t \to 0} {e^{(-s - \text{i}a)t} \over (-s - \text{i}a)} \right ) = \\
& {1 \over 2(s -\text{i}a)} + {1 \over 2(s + \text{i}a)} = {s \over s^2 + a^2}
\end{aligned} \)
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