Dubbio con integrale e sostituzione di variabile

[simox2]

Ciao a tutti,

Ho un dubbio con il metodo di risoluzione di un integrale attraverso il metodo di sostituzione.

Mi sono proposto di risolvere l'integrale:

[size=120]\(\displaystyle
\int \cos^2(4x)\,\text{d}x
\)[/size]

Procedo cosi:

[size=120]\(\displaystyle
\begin{aligned}
& u = \cos(4x) \Rightarrow \text{d}x = {\text{d}u \over -4\sin(4x)} \\
& \int \cos^2(4x)\,\text{d}x = \int {u^2 \over -4\sin(4x)}\,\text{d}u
\end{aligned}
\)[/size]

Ma arrivato a questo punto onestamente, mi blocco e non sono più sicuro sul come continuare.
Ringrazio in anticipo chi mi aiuterà a capire.

Ciao.

[simox2]

Dunque, forse l'integrale non è risolvibile attraverso il metodo di sostituzione..

\(\displaystyle \int \cos^2(4x)\,\text{d}x = \int{1 + \cos(8x) \over 2}\,\text{d}x = \int \left ({1 \over 2} + {\cos(8x) \over 2} \right )\,\text{d}x = {x \over 2} + {\sin(8x) \over 16} + c \)

A questo punto mi rimane il dubbio: è possibile applicare il metodo di sostituzione in questo caso, oppure no ?

[ciampax]

La sostituzione rende l'integrale una brutta bestia, poiché dovresti scrivere
$$dx=\frac{du}{-4\sqrt{1-u^2}}$$
e quindi vai a complicare le cose...