Dubbio con integrale di funzione irrazionale

[Vito L]

Salve a tutti ragazzi...sto impazzendo con la risoluzione di questo integrale..$\intsqrt(x^2+x+3) dx$
Allora ho provato ad applicare la formula di integrazione per parti e sembrava tutto ok fino a quando ho trovato una x in più al numeratore!!!

Il risultato dell'applicazione della formula è infatti $sqrt(x^2+x+3)*x-1/2*int((2x+1)*x)/sqrt(x^2+x+3)dx$ !

Sarebbe tutto piu semplice se quella x non ci fosse...ma purtroppo c'è quindi vi chiedo...avete qualche consiglio da darmi?

Garzie mille
Vito L

[ciampax]

Invece che procedere per parti, osserverei che $x^2+x+3=(x+1/2)^2+{11}/{4}$ e effetturei la sostituizione $(x+1/2)=\sqrt{11}/2 t$ per ricondurre tutto al seguente integrale

$\int\sqrt{{11}/4 t^2+{11}/4}\cdot {\sqrt{11}}/2\ dt={11}/4\int\sqrt{t^2+1}\ dt$

A questo punto un altra sostituzione dovrebbe portarti velocemente alla soluzione.

[Vito L]

Ciao ciampax..non credo sarei mai riuscito ad arrivare da solo a questo passaggio..

"ciampax": effetturei la sostituizione $(x+1/2)=\sqrt{11}/2 t$

Non avevo mai visto una sostituzione simile..cmq c'è una regola generale che mi possa aiutare per questo?
Poi scusa la mia ignoranza ripetuta ma dopo svariati tentativi nn riesco proprio a capire la sostituzione "veloce" che mi consigli per risolvere $\int sqrt(t^2+1) dt$

Grazie mille!
Vito L

[ciampax]

Sì: integrazione delle funzioni irrazionali del tipo $\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\ dx$ dove $R$ indica una funzione razionale dipendente solo da $x$ (e potenze) e radicali di quel tipo.

[dissonance]

Qua c'è un piccolo specchietto di sostituzioni tipo questa usata da ciampax:

post593054.html#p593054

[Vito L]

"dissonance":Qua c'è un piccolo specchietto di sostituzioni tipo questa usata da ciampax:

post593054.html#p593054

"ciampax":Sì: integrazione delle funzioni irrazionali del tipo $\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\ dx$ dove $R$ indica una funzione razionale dipendente solo da $x$ (e potenze) e radicali di quel tipo.

Scusate un attimo ragazzi...allora premesso di aver capito la sostituzione di ciampax, sto provando a fare l'integrale da solo utilizzando lo specchietto fornitomi molto getilmente da dissonance
Allora nel mio caso ad esempio sono proprio nel caso di $\int R(x,sqrt(ax^2+bx+c))dx$ proprio come suggerisce ciampax e , se $\delta<0$ lo specchietto suggerisce di porre $\sqrt(x^2+x+3)=(x-t)$

Ora come procedo...come faccio a ricavarmi $\dt$?


Al massimo riesco a ricavarmi $\x$ in questo modo: $\x^2+x+3=(x-t)^2$ quindi $\x^2+x+3=x^2-2tx+t^2$ quindi$\x+3=-2tx+t^2$ e $\x=(t^2-3)/(1+2t)$

..e poi?

[ciampax]

E poi $dx=({t^2-3}/{1+2t})'\ dt$... mentre $\sqrt{\ldots}=x-t={t^2-3}/{1+2t}-t=\ldots$