Dubbio con discontinuità Eliminabile e di 1a specie
Salve,
volevo chiedere se una funzione [tex]f:A \to \mathbb{R}[/tex] che presenta nel punto [tex]x_0[/tex] una discontinuità eliminabile, ossia che esiste [tex]\lim_{x \to x_0} f(x) \ne f(x_0)[/tex] , può presentare comunque che [tex]\exists lim_{x \to x_{0^+}}[/tex] ed [tex]\exists lim_{x \to x_{0^-}}[/tex] e inoltre [tex]lim_{x \to x_{0^+}}=lim_{x \to x_{0^-}}[/tex], ????
volevo chiedere se una funzione [tex]f:A \to \mathbb{R}[/tex] che presenta nel punto [tex]x_0[/tex] una discontinuità eliminabile, ossia che esiste [tex]\lim_{x \to x_0} f(x) \ne f(x_0)[/tex] , può presentare comunque che [tex]\exists lim_{x \to x_{0^+}}[/tex] ed [tex]\exists lim_{x \to x_{0^-}}[/tex] e inoltre [tex]lim_{x \to x_{0^+}}=lim_{x \to x_{0^-}}[/tex], ????
Risposte
"Orlok":
Salve,
volevo chiedere se una funzione [tex]f:A \to \mathbb{R}[/tex] che presenta nel punto [tex]x_0[/tex] una discontinuità eliminabile, ossia che esiste [tex]\lim_{x \to x_0} f(x) \ne f(x_0)[/tex] , può presentare comunque che [tex]\exists lim_{x \to x_{0^+}}[/tex] ed [tex]\exists lim_{x \to x_{0^-}}[/tex] e inoltre [tex]lim_{x \to x_{0^+}}=lim_{x \to x_{0^-}}[/tex], ????
Suppongo $A\subseteq RR$ poiché parli di limite destro e sinistro.
Credo che la risposta sia nella tua domanda
.Hai detto che "una funzione [tex]f:A \to \mathbb{R}[/tex] che presenta nel punto [tex]x_0[/tex] una discontinuità eliminabile, ossia che esiste [tex]\lim_{x \to x_0} f(x) \ne f(x_0)[/tex]".
Se esiste il limite vuol dire che esistono il limite destro e sinistro e questi sono uguali.
Se ho frainteso la tua domanda... correggimi pure!
Ciao
No, credo che tu non abbia frainteso. Ma allora se per caso una funzione non ha limite in un punto [tex]x_0[/tex] è possibile che abbia però quello destro e quello sinistro?
Certo, quando una funzione non ha limite, ci sono vari casi da considerare.
Può succedere che il limite destro e sinistro siano diversi e dunque non esiste il limite.
Può succedere che esista solo uno tra limite destro e sinistro quindi non esiste il limite.
Può succedere che non esistano né il limite destro né il sinistro quindi non esiste il limite.
Il limite è una condizione più forte del limite destro e sinistro: per esserci un limite devono esistere il limite destro e sinistro ed essere uguali.
Ciao
Può succedere che il limite destro e sinistro siano diversi e dunque non esiste il limite.
Può succedere che esista solo uno tra limite destro e sinistro quindi non esiste il limite.
Può succedere che non esistano né il limite destro né il sinistro quindi non esiste il limite.
Il limite è una condizione più forte del limite destro e sinistro: per esserci un limite devono esistere il limite destro e sinistro ed essere uguali.
Ciao
Ok. Se invece esiste ma è diverso da [tex]f(x_0)[/tex] è affetta da discontinuità eliminabile e per tanto non ha senso che vada a calcolare il limite destro ed il limite sinistro, giusto?
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