Dubbio caratterizzazione estremo superiore

[Plepp]

Salve ragazzi.
Stavo rileggendo questa caratterizzazione (con $\mathcal{M}_A$ indico l'insieme dei maggioranti di $A$):

Sia $(E,\le)$ un insieme totalmente ordinato, $A\subseteq E$ e sia $M\in E$. Supponiamo che $A$ sia superiormente limitato. Allora
\[M=\sup A\iff [M\in\mathscr{M}_A]\ \wedge\ [\forall x\in E,\ x< M,\ \exists a\in A:x

Mi chiedo: perché è indispensabile assumere che $E$ sia totalmente ordinato? Mi sembra che nella dimostrazione non si utilizzi in alcun modo questo fatto

[Maci86]

Come puoi dire che per ogni x in E x

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[Plepp]

Ciao

"Maci86":Come puoi dire che per ogni x in E x
Beh? non mi pare si stia dicendo che $\forall x\in E$ si ha $x \[[x In ogni caso, mi pare di aver risolto - come al solito, la notte porta consiglio : nella dimostrazione si ragiona per assurdo, e occorre che la negazione di una proposizione del tipo "$a\le b$ sia "$a>b$", il che è vero solamente se $\le$ è d'ordine totale, altrimenti "$a \le b$" si nega dicendo
\[[a\ \text{e}\ b\ \text{non confrontabili}]\ \vee\ [a> b]\]
Sbaglio?

[Maci86]

Esattamente, era il concetto della mia frase a meno di formalismi..