Dubbio campo vettoriale
salve ragazzi ho un dubbio su questo quesito a risposta multipla:
sia $ Omega=mathbb(R^2)\\{(0,0)} $ e sia $ F:Omega->mathbb(R^2) $ il campo vettoriale
$ F_((x,y))=(x/(root(4)(x^2+y^2)),y/root(4)(x^2+y^2)) $ .
sia $ gamma:[0,2pi]->mathbbR^2 $ la curva definita da $ gamma_((t))=(cost,sint) $ . quale delle seguenti affermazioni è corretta?
A) il campo F è conservativo perché un suo potenziale è $ U_((x,y))=2/3(x^2+y^2)^(3/4) $ e quindi $ int_(gamma)F* dP=0 $
B) l'integrale di linea $ int_(gamma)F* dP $ non può essere nullo, poiché $Omega$ non è semplicemente connesso
C) il campo F non ammette potenziale e quindi $ int_(gamma)F* dP!=0 $
D) il campo F non è conservativo, tuttavia l'integrale di linea $ int_(gamma)F* dP=0 $
non vi dico quale, secondo me, è la risposta corretta per non influenzare la vostra. in base a quello che mi rispondete probabilmente dovrò farvi qualche domanda
spero abbiate la pazienza di sopportarmi!
sia $ Omega=mathbb(R^2)\\{(0,0)} $ e sia $ F:Omega->mathbb(R^2) $ il campo vettoriale
$ F_((x,y))=(x/(root(4)(x^2+y^2)),y/root(4)(x^2+y^2)) $ .
sia $ gamma:[0,2pi]->mathbbR^2 $ la curva definita da $ gamma_((t))=(cost,sint) $ . quale delle seguenti affermazioni è corretta?
A) il campo F è conservativo perché un suo potenziale è $ U_((x,y))=2/3(x^2+y^2)^(3/4) $ e quindi $ int_(gamma)F* dP=0 $
B) l'integrale di linea $ int_(gamma)F* dP $ non può essere nullo, poiché $Omega$ non è semplicemente connesso
C) il campo F non ammette potenziale e quindi $ int_(gamma)F* dP!=0 $
D) il campo F non è conservativo, tuttavia l'integrale di linea $ int_(gamma)F* dP=0 $
non vi dico quale, secondo me, è la risposta corretta per non influenzare la vostra. in base a quello che mi rispondete probabilmente dovrò farvi qualche domanda
spero abbiate la pazienza di sopportarmi!
Risposte
La curva è una circonferenza con centro nell'origine, quindi l'integrale sarà nullo solo se esiste un potenziale definito su tutto il dominio. Per sapere se esiste devi provare a calcolarlo e vedere dove è definito.
EDIT: è più semplice verificare che $2/3(x^2+y^2)^(3/4)$ è effettivamente il potenziale che ci serve quindi la risposta è A
EDIT: è più semplice verificare che $2/3(x^2+y^2)^(3/4)$ è effettivamente il potenziale che ci serve quindi la risposta è A
allora preciso dicendo che nel frattempo ho trovato le risposte da solo... io ero convinto che un campo è conservativo quando è irrotazionale su un insieme semplicemente connesso. grazie a questo esercizio ho potuto notare che il fatto di essere definito in un insieme semplicemente connesso non è una condizione necessaria ma solo una condizione sufficiente (se considerata insieme all'irrotazionabilità naturalmente...). quindi se io in un esercizio ho un campo irrotazionale e in un insieme non semplicemente connesso non posso dire se è conservativo o meno giusto? devo vedere se ammette un potenziale?
esatto l'irrotazionalità su un dominio semplicemente connesso è una condizione sufficiente ma non necessaria, nei casi dubbi devi verificare se esiste un potenziale definito sullo stesso insieme (se invece trovi un potenziale definito solo su insiemi più piccoli allora il campo non è conservativo)
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