Dubbio baricentro solido di rotazione
Salve, ho un dubbio riguardo a trovare il baricentro di un solido di rotazione.
Se considero una superficie $D$ sul piano $yz, z>0, y>0$ e devo trovare il baricentro del solido ottenuto ruotando tale superficie attorno all'asta $z$ solitamente uso questa formula
$zb=2pi/(Volume) \int_D zy dxdx$
mentre per x e y risultano 0 per simmetria
Ma non dovrebbe risultare che il baricentro del solido su z coincida con il baricentro della figura piana?
Se considero una superficie $D$ sul piano $yz, z>0, y>0$ e devo trovare il baricentro del solido ottenuto ruotando tale superficie attorno all'asta $z$ solitamente uso questa formula
$zb=2pi/(Volume) \int_D zy dxdx$
mentre per x e y risultano 0 per simmetria
Ma non dovrebbe risultare che il baricentro del solido su z coincida con il baricentro della figura piana?
Risposte
No, infatti ad esempio si può ottenere un cono dalla rotazione del triangolo avente come vertici $(0,0,0)$, $(0,1,0)$ e $(0,0,1)$, ma le altezze dei baricentri del triangolo e del cono sono rispettivamente $1/3$ e $1/4$.
Il fatto che le due altezze non sempre coincidono si può spiegare così: per il calcolo del baricentro del solido di rotazione si può suddividere quest'ultimo in tante "fette" infinitamente sottili, calcolare il baricentro di ognuna di esse e sommare tutti i contributi con un integrale. Queste fette "assomigliano" alla figura piana che definisce il solido, ma per quanto sottili diventano sempre più spesse man mano che ci si allontana dall'asse di rotazione, quindi i punti più lontani danno un contributo maggiore, diversamente da quando si calcola il baricentro della figura piana, e di conseguenza si ottengono (in generale) punti diversi.
Il fatto che le due altezze non sempre coincidono si può spiegare così: per il calcolo del baricentro del solido di rotazione si può suddividere quest'ultimo in tante "fette" infinitamente sottili, calcolare il baricentro di ognuna di esse e sommare tutti i contributi con un integrale. Queste fette "assomigliano" alla figura piana che definisce il solido, ma per quanto sottili diventano sempre più spesse man mano che ci si allontana dall'asse di rotazione, quindi i punti più lontani danno un contributo maggiore, diversamente da quando si calcola il baricentro della figura piana, e di conseguenza si ottengono (in generale) punti diversi.
Ok ora mi è chiaro. E per calcolare il baricentro di un solido ruotato intorno all'asse y, uso sempre quella formula? Ovviamente con il volume corretto
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