Dubbio banale su soluzione equaz. differenziale II° ordine a coeff. costanti

bagarospo81
Salve, ho ripreso da circa un annetto gli studi di ingegneria lasciati dopo la triannale e mi trovo spesso con questioni già affrontate, in teoria assodate ma che mi costringono a più di qualche rifelssione (insomma troppa ruggine).
Comuqnue la questione è banale e forse mi vergogno anche un pò di postarla in un forum di matemarica.
In una equazione differenziale del secondo ordine omogenea a coefficianti costanti, nel caso le radici λ1,2 dell'equazione di secondo grado associata siano complesse e coniugte (1 dei 3 casi possibili) mi troverei con una soluzione che è combinazione lineare di due funzioni del tipo z1=e^(λ1 t) e z2=e^(λ2 t). In teoria quindi anche le funzioni z1 e z2 e la loro combinazione z(t)=a*z1+b*z2 saranno numeri complessi se i coeffcienti a e b sono reali e generici....giusto??
Eppure i miei appunti e i testi consultati non sono chiari a riguardo e alla fine mostrano come invece l'integrale z(t) della suddeta equazione differenziale sia reale in ogni caso anche per radici λ1,2 complesse e coniugate.
Come è possibile?? Come si fa a dimostrare questa cosa con passaggi semplici e chiari anche per uno come me ??
Grazie

Risposte
Quinzio
Perchè i coefficienti cono complessi ${C_1,C_2}\in CC$ e in particolare sarà $C_1= \bar(C_2) $.

Infatti se le due soluzioni dell'equazione di 2^ grado associata sono $k\pm i(\phi)$, le soluzioni saranno

$C_1e^ke^(i\phi)+C_2e^ke^(-i\phi)=(a_1-ib_1)(cos\phi+isin\phi)+(a_1+ib_1)(cos\phi-isin\phi)=$

$=2(a_1 cos(\phi) +b_1sin(\phi))$

che è la forma meglio conosciuta.

bagarospo81
Perfetto....effettivamente ero giunto anche io alla stessa conclusione sulle costanti (in particolare che l'essere l'una il complesso coniugato dell'altra era l'unica possibilità di avere alla fine un integrale reale!!)
Però quello su cui rimango perplesso è perché questa condizione viene bellamente omessa in praticamente tutte le trattazioni che ho consultato, compresa quella del prof. Si fa comizi sul fatto che la soluzione e^λt è tale solo se λ è una delle radici del polinomio caratteristico ma non si fa menzione di questa...a mio modo di vedere...particolarità.
Del resto il teorema che garantisce che la combinazione lineare delle soluzioni z1=e^(λ1 t) e z2=e^(λ2 t) è la soluzione generale dell'eq omogenea (mi pare che era Eulero....ruggine,ruggine) mi pare dica che una QUALUNQUE combinazione è soluzione...giusto??? Quindi se così non è...o meglio se ci sono ulteriori condizioni andrebbero specificate..anche perché in realtà noi trattiamo problemi di fisica e quindi non possiamo certo permetterci di considerare rispste "complesse" che non avrebbero senso.
Cmq, piccolo sfogo a parte, tutto chiaro....grazie per la spiegazione :smt023 .

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