Dubbio banale su numero complesso in forma esponenziale
Salve a tutti,
ieri, svolgendo un esercizio di Analisi III, mi è venuto un dubbio su come scrivere un numero complesso...vi esplicito i miei conti:
$e^(i2)=e^(i2(pi/pi))=(e^(i2pi))^(1/pi)=1^(1/pi)=1$
vorrei sapere se ho fatto passaggi leciti, in quanto, se non erro, $e^(i2)=cos(2)+isen(2)!=1$
Probabilmente la domanda è banale, ma preferisco chiedere piuttosto che rimanere con il dubbio!
ieri, svolgendo un esercizio di Analisi III, mi è venuto un dubbio su come scrivere un numero complesso...vi esplicito i miei conti:
$e^(i2)=e^(i2(pi/pi))=(e^(i2pi))^(1/pi)=1^(1/pi)=1$
vorrei sapere se ho fatto passaggi leciti, in quanto, se non erro, $e^(i2)=cos(2)+isen(2)!=1$
Probabilmente la domanda è banale, ma preferisco chiedere piuttosto che rimanere con il dubbio!
Risposte
Hai fatto bene a postare questa domanda. Intanto mettiamo in chiaro che $e^{i2}!=1$, perché $e^{i2}$ è il numero complesso avente coordinate polari $(rho, theta)=(1, 2)$ evidentemente diverso da $1$ che ha coordinate polari $(1, 0)$. Quindi c'è qualche problema nei passaggi anche se a una prima occhiata sembrano corretti.
Il problema è evidentemente qui:
$(e^{i2 pi})^(1/pi)=e^{i2}$, questa identità è falsa.
Questo dimostra che non è vera la formula
$(e^{z})^lambda=e^{lambda z}$ se $z\inCC - RR$ oppure se $lambda\in CC-RR$ (per costruire un esempio con $lambda\inCC-RR, z \in RR$ è sufficiente scambiare $i2pi$ e $1/pi$).
In realtà questo fa parte di tutta una serie di risultati apparentemente strani dovuti al fatto che il logaritmo complesso è una funzione multivoca. Infatti la formula $(e^a)^b=e^(ab)$ si dimostra così:
$(e^a)^b=e^(b log e^a)=e^(b a log e)=e^(ba)$ perché $log e=1$.
Con il logaritmo complesso l'ultima semplificazione non si può fare, perché $"Log" e=1+2kpi i, k \in ZZ$ (uso $"Log"$ per indicare il logaritmo complesso e $log$ per indicare quello reale).
Il problema è evidentemente qui:
$(e^{i2 pi})^(1/pi)=e^{i2}$, questa identità è falsa.
Questo dimostra che non è vera la formula
$(e^{z})^lambda=e^{lambda z}$ se $z\inCC - RR$ oppure se $lambda\in CC-RR$ (per costruire un esempio con $lambda\inCC-RR, z \in RR$ è sufficiente scambiare $i2pi$ e $1/pi$).
In realtà questo fa parte di tutta una serie di risultati apparentemente strani dovuti al fatto che il logaritmo complesso è una funzione multivoca. Infatti la formula $(e^a)^b=e^(ab)$ si dimostra così:
$(e^a)^b=e^(b log e^a)=e^(b a log e)=e^(ba)$ perché $log e=1$.
Con il logaritmo complesso l'ultima semplificazione non si può fare, perché $"Log" e=1+2kpi i, k \in ZZ$ (uso $"Log"$ per indicare il logaritmo complesso e $log$ per indicare quello reale).
Aggiungo una morale alla favola. Quando si parla di esponenziale complessa, se non si conoscono bene il logaritmo complesso e le funzioni multivoche conviene usare la scrittura $"exp"(z)$ anziché $e^z$. Questo eviterà l'applicazione di automatismi come quello di questo topic, che sono validi e usatissimi per l'esponenziale reale ma portano ad errori nel caso complesso.
Più chiaro di così non potevi essere! Dubbio risolto, adesso so qualcosa in più, e la prossima volta non sbaglierò! Grazie mille! 
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