Dubbio atroce sulle sottosuccessioni
Ciao a tutti..
Ho cominciato il ripasso dettagliatissimo di analisi matematica... Studiando anche definizioni, teoremi e dimostrazioni che finora ho in pratica soltanto applicato (anche se bene).
Quando abbiamo studiato i limiti ci siamo serviti del concetto di sottosuccessione per dimostrare che alcuni limiti non esistono:
Considerando ad esempio $lim sen(n)$
abbiamo considerato le due sottosuccessioni
$a_(2kpi)$ che diverge positivamente
$a_(2kpi+pi/2)$ che diverge positivamente
Così $lim sen(2kpi)=0$ e $lim sen (2kpi+pi/2)=1 $. Poichè i due limiti sono diversi, $sen(n)$ non è regolare
Fin qui tutto chiaro, applicando questo procedimento sono sempre riuscito a dimostrare ciò che serviva.
Ma ripassando la teoria mi sono accorto che data una successione $a_n$, la sua sottosuccessione $(a_(n_k))$ deve essere una successione strettamente crescente (e fin qui ci siamo) e di numeri NATURALI..... Non mi sembra che le successioni di sopra, suggeriteci dalla prof, siano di numeri naturali!
Voi cosa mi dite? Certamente, secondo me, questo metodo è concettualmente giusto per studiare il limite di una funzione, ma per le successioni non credo.
Cosa dovrei fare?
Ho cominciato il ripasso dettagliatissimo di analisi matematica... Studiando anche definizioni, teoremi e dimostrazioni che finora ho in pratica soltanto applicato (anche se bene).
Quando abbiamo studiato i limiti ci siamo serviti del concetto di sottosuccessione per dimostrare che alcuni limiti non esistono:
Considerando ad esempio $lim sen(n)$
abbiamo considerato le due sottosuccessioni
$a_(2kpi)$ che diverge positivamente
$a_(2kpi+pi/2)$ che diverge positivamente
Così $lim sen(2kpi)=0$ e $lim sen (2kpi+pi/2)=1 $. Poichè i due limiti sono diversi, $sen(n)$ non è regolare
Fin qui tutto chiaro, applicando questo procedimento sono sempre riuscito a dimostrare ciò che serviva.
Ma ripassando la teoria mi sono accorto che data una successione $a_n$, la sua sottosuccessione $(a_(n_k))$ deve essere una successione strettamente crescente (e fin qui ci siamo) e di numeri NATURALI..... Non mi sembra che le successioni di sopra, suggeriteci dalla prof, siano di numeri naturali!
Voi cosa mi dite? Certamente, secondo me, questo metodo è concettualmente giusto per studiare il limite di una funzione, ma per le successioni non credo.
Cosa dovrei fare?
Risposte
dubbi doverosi...
no, non sono sottosuccessioni ammissibili
il problema di $\sin (n)$ non è banale
la questione è stata sviscerata qui:
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=12213
puoi vedere, in particolare, qui:
https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... 3810#93810
ciao
no, non sono sottosuccessioni ammissibili
il problema di $\sin (n)$ non è banale
la questione è stata sviscerata qui:
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=12213
puoi vedere, in particolare, qui:
https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... 3810#93810
ciao
Grazie mille Fioravante!
E io che pensavo che all'Uni avrei trovato solo professori infallibili!
E io che pensavo che all'Uni avrei trovato solo professori infallibili!
Mea culpa.. Mea culpa...
In aula abbiamo dimpstrato che la funzione seno non ha limite, non la sua successione!
In aula abbiamo dimpstrato che la funzione seno non ha limite, non la sua successione!
eh, poveri prof...
sempre accusati ingiustamente, questi angioletti
/ 
che vegliano 
sulle sorti dei loro carissimi allievi 
sempre accusati ingiustamente, questi angioletti
/ che vegliano sulle sorti dei loro carissimi allievi
E' che sono rimasto traumatizzato dalla somma ignoranza del mio professore del liceo
"Fioravante Patrone":
la questione è stata sviscerata qui: [...]
https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... 3810#93810
"Fioravante Patrone (direttamente dal thread linkato al rigo precedente)":
[...] la successione dei numeri naturali [...] ogni 6-7 numeri ne ha uno che va a cadere tra $\pi/2 - 0.51$ e $\pi/2 + 0.51$ (modulo $2k\pi$). Idem, sempre ogni 6-7 numeri ce n'è uno che cade fra $-\pi/2 -0.51$ e $-\pi/2 + 0.51$ (sempre modulo $2k\pi$!!!). [...]
A parte che nell'altro thread - quello del link che è stato segnalato - di sviscerato c'è veramente poco, non so - davvero non so! - se essere pietrificato - a fronte di quel che ho letto e in vista di quel che è stato scritto - o prendere piuttosto l'iniziativa per un'invettiva indirizzata al MURST, in cui denunciare - solite grida nel silenzio? - lo stato di decadimento dell'università e della ricerca del bel paese. Senza offesa, nessuno conosce in che modo i termini della successione $\{\sin(n)\}_{n \ge 0}$ si distribuiscono nell'intervallo $[-1, 1]$ o in un qualunque suo sottointervallo non vuoto, né tantomeno saprebbe stabilire che "ogni 6-7 numeri" un termine casca a destra e un altro a manca... Esistono delle stime probabilistiche, questo è vero. Ed è vero che, attraverso sofisticati risultati della teoria algebrica dei numeri, e in particolare della teoria delle approssimazioni diofantine (vedi, ad es., il teorema di Hata), è possibile stabilire degli upper bound sulla frequenza con cui $\sin(n)$ si avvicina a $\pm 1$, i.e. a $\pm \frac{\pi}{2}$ modulo $2\pi$, per $n \to +\infty$. Ma da qui a dire che "ogni 6-7 numeri" accade questo o quello ce ne passa, no!?
EDIT: l'italiano.
rilassati
Prima di offendere, perchè non mostri le falle dei ragionamenti altrui e ci fai vedere il tuo modo elegante di procedere?
P.S. Non fare come quella volta https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... 2427#62427
in cui per risolvere un limite da 4 soldi hai buttato sul tavolo matematica che sicuramente nessun liceale conosce!!!
O forse questo procedimento è troppo poco contorto per te: https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... 445#107445
P.S. Non fare come quella volta https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... 2427#62427
in cui per risolvere un limite da 4 soldi hai buttato sul tavolo matematica che sicuramente nessun liceale conosce!!!
O forse questo procedimento è troppo poco contorto per te: https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... 445#107445
"matematicoestinto":
Prima di offendere, perchè non mostri le falle dei ragionamenti altrui e ci fai vedere il tuo modo elegante di procedere?
@matematicoestinto: a rigor di logica, è lo Stato che si dovrebbe sentire offeso, cioè io per primo come suo privato cittadino. Ho già spiegato dov'è che falliscono gli argomenti di Fioravante Patrone. In potenza, l'idea non è malvagia - d'altronde, è anche la prima che può venirti in mente di fronte a un problema di questo tipo. In atto, tuttavia, non è efficace. Vuoi sapere la mia? Sarò buono, ti accontento!
Per ogni intero $k \ge 1$, siano $a_k = [(4k+1)\frac{\pi}{2}]$ e $b_k = [(4k-1)\frac{\pi}{2}]$, dove $[ \cdot ]$ indica la parte intera bassa del suo argomento. Evidentemente, $\frac{\pi}{8} + 2k\pi < a_k < \frac{7\pi}{8} + 2k\pi$ e $-\frac{7\pi}{8} + 2k\pi < b_k < -\frac{\pi}{8}$. Perciò $\sin(\pi/8) < \sin(a_k) < \sin(7\pi/8)$ e $-\sin(7\pi/8) < \sin(b_k) < -\sin(\pi/8)$, per ogni $k = 1, 2, ...$ Per assurdo, esista $L = \lim_{n \to \infty} \sin(n)$. Allora debbono parimenti esistere $L_a = \lim_{k \to \infty} a_k$ ed $L_b = \lim_{k \to \infty} b_k$, e inoltre dev'essere $L_a = L_b = L$. Senonché (per costruzione) $L_b < 0 < L_a$, assurdo!
Lascio a te, naturalmente, giudicare se sia elegante o meno...
"matematicoestinto":
P.S.: non fare come quella volta in cui per risolvere un limite da 4 soldi hai buttato sul tavolo matematica che sicuramente nessun liceale conosce!!! O forse questo procedimento è troppo poco contorto per te [...]?
Contorto? Non direi, è molto semplice. Così semplice che si potrebbe giudicarlo anche meccanico...
"DavidHilbert":
a rigor di logica, è lo Stato che si dovrebbe sentire offeso, cioè io per primo come suo privato cittadino.
uh, mamma!
va a finire che mi licenziano
spero nel buon cuore dei forumisti
PS: hai controllato bene quello che avevo scritto nel post incriminato?
Studiamo la successione $sen(ntheta)$ con $theta$ reale, da cui ponendo $theta=1$ seguirà la tesi.
Supponiamo che $sen(ntheta)->l ne 0$, da cui segue che la successione estratta $(sen(2ntheta))$ converge ad $l$.
Dalla formula $sen(2ntheta)=2sen(ntheta)cos(ntheta)$ si ottine $cos(ntheta)=(sen(2ntheta))/(2sen(ntheta))$, da cui si ricava
$cos(ntheta)->1/2$.
Allora si ha $(costheta+isentheta)^n=cos(ntheta)+isen(ntheta)->1/2+il$
che può verificarsi se e solo se $costheta+isentheta=1$; ne segue che $theta=2kpi$, per qualche k intero, e quindi che $sen(ntheta)=0$, che è assurdo perchè $l ne 0$; concludiamo che se $(sen(ntheta))$ converge, può convergere solo a 0:
ne segue che $(cos(2ntheta))$ deve convergere ad 1 ($cos(2ntheta)=1-2sen^2(ntheta)$) e quindi
$(cos(2theta)+isen(2theta))^n=cos(2ntheta)+isen(2ntheta)->1$
che accade se e solo se $cos(2theta)=1$ e $sen(2theta)=0$, cioè se e solo se $theta=kpi$.
Concludiamo allora che $(sen(ntheta))$ converge se e solo se $theta=kpi$, nel qual caso essa è costante con termine generale nullo.
Supponiamo che $sen(ntheta)->l ne 0$, da cui segue che la successione estratta $(sen(2ntheta))$ converge ad $l$.
Dalla formula $sen(2ntheta)=2sen(ntheta)cos(ntheta)$ si ottine $cos(ntheta)=(sen(2ntheta))/(2sen(ntheta))$, da cui si ricava
$cos(ntheta)->1/2$.
Allora si ha $(costheta+isentheta)^n=cos(ntheta)+isen(ntheta)->1/2+il$
che può verificarsi se e solo se $costheta+isentheta=1$; ne segue che $theta=2kpi$, per qualche k intero, e quindi che $sen(ntheta)=0$, che è assurdo perchè $l ne 0$; concludiamo che se $(sen(ntheta))$ converge, può convergere solo a 0:
ne segue che $(cos(2ntheta))$ deve convergere ad 1 ($cos(2ntheta)=1-2sen^2(ntheta)$) e quindi
$(cos(2theta)+isen(2theta))^n=cos(2ntheta)+isen(2ntheta)->1$
che accade se e solo se $cos(2theta)=1$ e $sen(2theta)=0$, cioè se e solo se $theta=kpi$.
Concludiamo allora che $(sen(ntheta))$ converge se e solo se $theta=kpi$, nel qual caso essa è costante con termine generale nullo.
"Fioravante Patrone":
PS: hai controllato bene quello che avevo scritto nel post incriminato?
La storia dell'olio di gomito? Puntiamola qui: sono un hilbertiano, e come tale pretendo - nella matematica - rigore. E' l'unica ragione per cui mi sono scaldato (un po'), perché credo fermamente nel principio. Non ho nulla di personale contro di lei, prof. Patrone. Terrei che questo fosse ben chiaro. Per inciso, non intendo più oltre intervenire sul topic, a meno che non si tratti di chiarimenti riguardo alla soluzione del problema.
Saluti,
Salvatore Tringali
Mi accorgo adesso che aveva già risposto Salvatore... chiedo venia perchè non avevo visto.
Chiedere venia? Sia mai, Piera, la tua soluzione è a dir poco esemplare - oltre che assai più generale della mia.
Sei troppo gentile, in realtà la soluzione che ho scritto l'ho presa da un manuale di analisi.
No, che non sono gentile. Semplicemente mi limito ad essere obiettivo. 
Credo che l'attacco a quanto postato da Fioravante su $sen n$ sia del tutto ingiustificato; quanto diceva nel suo post è esattamente quello che hai messo per bene tu nei tuoi post, non è nulla di diverso. Faresti davvero bene a rilassarti, e ricorda che in Matematica contano di più le idee del formalismo. Hilbert sognava una matematica perfetta, ma il suo sogno rimarrà sempre tale, non sarà mai realtà.
"Luca.Lussardi":
Credo che l'attacco a quanto postato da Fioravante su $sen n$ sia del tutto ingiustificato; quanto diceva nel suo post è esattamente quello che hai messo per bene tu nei tuoi post, non è nulla di diverso. Faresti davvero bene a rilassarti, e ricorda che in Matematica contano di più le idee del formalismo. Hilbert sognava una matematica perfetta, ma il suo sogno rimarrà sempre tale, non sarà mai realtà.
Se me lo permetti... quoto in toto
"DavidHilbert":
[...] Per inciso, non intendo più oltre intervenire sul topic, a meno che non si tratti di chiarimenti riguardo alla soluzione del problema.
Ti sei già contraddetto; non c'era bisogno di quotare una tua frase, è già stata letta.
Accetta il consiglio di Fioravante.
Accetta il consiglio di Fioravante.
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo