Dubbio asintoticità log

[ungumba]

Salve! svolgendo alcuni esercizi mi sono imbattuto in questa serie da 1 a + infinito: $ sum_(n = 1\ldots) (log(1+sqrtn))/n^2 $ .
devo studiare la convergenza.
è esatto dire che $ log(1+sqrtn)~ sqrtn $ ?
risolvendo in questo modo ottengo $ 1/n^(3/2) $ che risulta convergente.
Ho pensato inoltre di risolverlo con lo sviluppo di Taylor ovvero $ log(1+sqrtn)=sqrtn-n/2+o(n) $ ma non riesco a risolverlo.
Qual'è la strada giusta?
Grazie in anticipo

[spugna2]

"ungumba":è esatto dire che $ log(1+sqrtn)~ sqrtn $ ?

è vero per $n->0$, ma a te interessa il comportamento per $n->+oo$, che è diverso. In ogni caso, se sai che $\sum_{n=1}^{+oo} n^{-3/2}$ converge, per concludere è sufficiente dimostrare che $log(1+sqrt{n})$ cresce più lentamente di $\sqrt{n}$, cioè che $\lim_{n->+oo} {log(1+sqrt{n})}/sqrt{n}=0$, e ci sono svariati modi per farlo (ad esempio usando de l'Hopital).