Dubbio area su cui calcolare integrale doppio
Buongiorno.
Ho un dubbio su questo esercizio:
http://www.edutecnica.it/matematica/idx/3.htm
La risoluzione non presenta problemi, ma dalla lettura del testo non se ne deduce che l'area richiesta è più estesa di quella demarcata nell'esercizio stesso?
Denominando dal basso verso l'alto i 4 punti di intersezione A, B, C, D, il testo suggerisce e svolge solo sull'area racchiusa da ABC.
Ma non è invece evidentemente anche inclusa la parte BCD, rendendo di fatto superfluo l'arco di parabola 8xy=1 e rendendo l'area su cui calcolare quella delimitata dai soli punti AD?
Cosa mi sfugge?
Grazie a tutti
Ho un dubbio su questo esercizio:
http://www.edutecnica.it/matematica/idx/3.htm
La risoluzione non presenta problemi, ma dalla lettura del testo non se ne deduce che l'area richiesta è più estesa di quella demarcata nell'esercizio stesso?
Denominando dal basso verso l'alto i 4 punti di intersezione A, B, C, D, il testo suggerisce e svolge solo sull'area racchiusa da ABC.
Ma non è invece evidentemente anche inclusa la parte BCD, rendendo di fatto superfluo l'arco di parabola 8xy=1 e rendendo l'area su cui calcolare quella delimitata dai soli punti AD?
Cosa mi sfugge?
Grazie a tutti
Risposte
Ciao lackyluk,
No, sta calcolando l'area giusta sottraendo nella prima parte all'area sotto la parabola $y =\sqrt x $ quella sotto la parabola $y = x^2 $; nella seconda parte sta sottraendo all'area sotto l'iperbole $8 x y = 1 $ (non è una parabola, ma un'iperbole) quella sotto la parabola $y = x^2 $. Un altro errore è l'uso di $lg$ (che indica il logaritmo decimale o volgare o di Briggs) invece di $ln$ per indicare il logaritmo naturale, come prescrive la norma ISO 80000-2
"lackyluk":
Ma non è invece evidentemente anche inclusa la parte BCD, rendendo di fatto superfluo l'arco di parabola 8xy=1 e rendendo l'area su cui calcolare quella delimitata dai soli punti AD?
No, sta calcolando l'area giusta sottraendo nella prima parte all'area sotto la parabola $y =\sqrt x $ quella sotto la parabola $y = x^2 $; nella seconda parte sta sottraendo all'area sotto l'iperbole $8 x y = 1 $ (non è una parabola, ma un'iperbole) quella sotto la parabola $y = x^2 $. Un altro errore è l'uso di $lg$ (che indica il logaritmo decimale o volgare o di Briggs) invece di $ln$ per indicare il logaritmo naturale, come prescrive la norma ISO 80000-2
Grazie pilloeffe, ma ancora non mi è affatto chiaro. E la cosa mi preoccupa in quanto non riesco nemmeno a vederlo il mio errore di interpretazione.
L'esercizio parla di "Calcolare l'area della parte di piano limitata dalle due parabole e dall'arco di parabola (iperbole) ...".
Come la parte di piano BCD non faccia parte di questa area da ricercare mi sfugge del tutto!!
Essa è limitata dalle tre funzioni tanto quanto l'area che invece prende in considerazione!
Qui non siamo alla matematica, siamo all'interpretazione del testo...sono molto preoccupato!!!
PS. Nell'esercizio vero e proprio vi era il solo testo e nessuna rappresentazione grafica. La rappresentazione grafica andava ricavata e faceva parte dell'esercizio stesso.
L'esercizio parla di "Calcolare l'area della parte di piano limitata dalle due parabole e dall'arco di parabola (iperbole) ...".
Come la parte di piano BCD non faccia parte di questa area da ricercare mi sfugge del tutto!!
Essa è limitata dalle tre funzioni tanto quanto l'area che invece prende in considerazione!
Qui non siamo alla matematica, siamo all'interpretazione del testo...sono molto preoccupato!!!
PS. Nell'esercizio vero e proprio vi era il solo testo e nessuna rappresentazione grafica. La rappresentazione grafica andava ricavata e faceva parte dell'esercizio stesso.
Questo il testo integrale dell'esercizio.
Risolvere il seguente integrale doppio:
$ int int_(D)^( ) dx dy $
dove D è la parte di piano (primo quadrante) racchiusa dalle curve
$ x=y^2, y=x^2, 8xy=1 $
È obbligatorio il disegno del dominio.
Risolvere il seguente integrale doppio:
$ int int_(D)^( ) dx dy $
dove D è la parte di piano (primo quadrante) racchiusa dalle curve
$ x=y^2, y=x^2, 8xy=1 $
È obbligatorio il disegno del dominio.
"lackyluk":
Grazie pilloeffe, ma ancora non mi è affatto chiaro. E la cosa mi preoccupa in quanto non riesco nemmeno a vederlo il mio errore di interpretazione.
Prego. Allora, immagino tu abbia maggior familiarità con gli integrali in una dimensione, per cui facciamola più semplice e consideriamo solo la prima parte (per la seconda parte il discorso è analogo). Come faresti a calcolare tutta l'area compresa fra la curva $y = \sqrt x $ e l'asse $x$? Chiaramente $0 \le x \le 1/4 $, sicché avresti
$\int_0^{1/4} \sqrt x \text{d}x $
Invece, come faresti a calcolare tutta l'area compresa fra la curva $y = x^2 $ e l'asse $x$? Chiaramente ancora $0 \le x \le 1/4 $, sicché avresti
$\int_0^{1/4} x^2 \text{d}x $
A questo punto come faresti a calcolare l'area richiesta dalla prima parte? Ovviamente dovresti fare la differenza delle due aree appena calcolate, cioè
$\int_0^{1/4} \sqrt x \text{d}x - \int_0^{1/4} x^2 \text{d}x = \int_0^{1/4} [\sqrt x - x^2] \text{d}x = \int_0^{1/4} [\int_{x^2}^{\sqrt x} \text{d}y ] \text{d}x $
Così è più chiaro?
Purtroppo no. Ma in effetti non credo sia riuscito a comunicare dove risieda il mio dubbio forse.
Ignoriamo il link e la figura che ho proposto nel primo post.
L'esercizio recita:
Risolvere il seguente integrale doppio:
$ int int_(D)^( ) dx dy $
dove D è la parte di piano (primo quadrante) racchiusa dalle curve
$ x=y^2, y=x^2, 8xy=1 $
È obbligatorio il disegno del dominio.
Bene. Ne faccio una rappresentazione grafica(con annessa la mia impostazione dell'integrale e relativa soluzione):
https://imgur.com/a/jMXjrd6
Ora, perché si ignora la parte delimitata in arancione (BCD) e sia tu che l'esercizio considerate la sola parte verde (ABC)?
Anche la parte arancione mi sembra decisamente "racchiusa dalle curve..." e sta nel primo quadrante.
Ciò che mi confonde è l'arco di iperbole. Non essendo lo scopo dell'esercizio quello di ingannare, non capisco effettivamente quale sia la sua funzione quando l'area richiesta è chiaramente l'area racchiusa dalle sole due parabole, ABC + BCD o semplicemente AD cancellando l'iperbole.
Ignoriamo il link e la figura che ho proposto nel primo post.
L'esercizio recita:
Risolvere il seguente integrale doppio:
$ int int_(D)^( ) dx dy $
dove D è la parte di piano (primo quadrante) racchiusa dalle curve
$ x=y^2, y=x^2, 8xy=1 $
È obbligatorio il disegno del dominio.
Bene. Ne faccio una rappresentazione grafica(con annessa la mia impostazione dell'integrale e relativa soluzione):
https://imgur.com/a/jMXjrd6
Ora, perché si ignora la parte delimitata in arancione (BCD) e sia tu che l'esercizio considerate la sola parte verde (ABC)?
Anche la parte arancione mi sembra decisamente "racchiusa dalle curve..." e sta nel primo quadrante.
Ciò che mi confonde è l'arco di iperbole. Non essendo lo scopo dell'esercizio quello di ingannare, non capisco effettivamente quale sia la sua funzione quando l'area richiesta è chiaramente l'area racchiusa dalle sole due parabole, ABC + BCD o semplicemente AD cancellando l'iperbole.
Beh, se consideri anche $BCD$ allora l'iperbole che te l'ha data a fare? 
A rigore o una o l'altra
A rigore o una o l'altra
"axpgn":
Beh, se consideri anche $BCD$ allora l'iperbole che te l'ha data a fare?
A rigore o una o l'altra
Ed è proprio li il dubbio. Nell'iperbole.
Se anche fosse messa li a delimitare una o l'altra, con quale criterio scelgo ABC e non BCD?
Per me ha dato per scontato la situazione più "banale" (o forse non se n'è accorto che c'erano due possibilità )
)
"lackyluk":
Se anche fosse messa li a delimitare una o l'altra, con quale criterio scelgo ABC e non BCD?
Beh, col criterio che l'area che vuole in effetti è quella colorata in verde qui:
http://www.edutecnica.it/matematica/idx/3.htm
Certo, potrebbe esserci il dubbio che l'area possa essere BCD, ma o BCD o ABC, non entrambe, altrimenti non avrebbe alcun senso l'assegnazione dell'iperbole $8xy = 1 $...
Grazie ad entrambi per gli interventi.
Pilloeffe, credo che quella immagine iniziale abbia un po fuorviato.
E si, l'iperbole a quanto pare confonde.
La mia prima impressione durante lo svolgimento è stata che la richiesta fosse ABC+BCD e l'iperbole a testare proprio la capacità di osservare che in fondo si poteva semplificare calcolando la sola AD.
Ma a mente fredda, mi è risultato un ragionamento talmente banale ed ovvio che quella iperbole ha iniziato ad insospettirmi, e da li questo post.
Mi sembra dunque di poter concludere che l'area da calcolare vada un po ad interpretazione.
Posso calcolare solo ABC, solo BCD, ma anche ABC + BCD.
Forse l'unica cosa un po forzata è proprio ABC + BCD impostando però come la sola AD.
Inizio a sospettare che l'area verde nell'esercizio di Edutecnica fosse proprio parte dell'esercizio.
Chi lo ha riproposto, non ha però inserito il disegno per farlo diventare parte dell'esercizio, senza rendersi conto però che questo avrebbe portato a questa confusione.
Comunque, forse tornerò con una "interpretazione autentica" di quale fosse l'intenzione.
Intanto grazie.
Pilloeffe, credo che quella immagine iniziale abbia un po fuorviato.
E si, l'iperbole a quanto pare confonde.
La mia prima impressione durante lo svolgimento è stata che la richiesta fosse ABC+BCD e l'iperbole a testare proprio la capacità di osservare che in fondo si poteva semplificare calcolando la sola AD.
Ma a mente fredda, mi è risultato un ragionamento talmente banale ed ovvio che quella iperbole ha iniziato ad insospettirmi, e da li questo post.
Mi sembra dunque di poter concludere che l'area da calcolare vada un po ad interpretazione.
Posso calcolare solo ABC, solo BCD, ma anche ABC + BCD.
Forse l'unica cosa un po forzata è proprio ABC + BCD impostando però come la sola AD.
Inizio a sospettare che l'area verde nell'esercizio di Edutecnica fosse proprio parte dell'esercizio.
Chi lo ha riproposto, non ha però inserito il disegno per farlo diventare parte dell'esercizio, senza rendersi conto però che questo avrebbe portato a questa confusione.
Comunque, forse tornerò con una "interpretazione autentica" di quale fosse l'intenzione.
Intanto grazie.
"lackyluk":
Inizio a sospettare che l'area verde nell'esercizio di Edutecnica fosse proprio parte dell'esercizio.
Eh, direi proprio di sì...
"lackyluk":
Chi lo ha riproposto, non ha però inserito il disegno per farlo diventare parte dell'esercizio, senza rendersi conto però che questo avrebbe portato a questa confusione.
Per me è andata proprio così come affermi: chi lo ha riproposto non si è accorto che, senza ulteriori specificazioni (tipo l'area limitata dalle tre curve più vicina all'origine degli assi cartesiani) l'esercizio poteva essere equivocato. Escluderei però la somma delle due aree, perché in tal caso non avrebbe avuto senso assegnare l'iperbole $8xy = 1 $ ed il testo sarebbe stato più semplicemente scritto così: calcolare l'area della parte di piano limitata dalle due parabole $y = x^2 $ e $x = y^2 $ nel 1° quadrante. Se fosse stato un esercizio d'esame ed io fossi stato il professore avrei assegnato punteggio pieno sia a coloro che avessero optato per l'interpretazione ABC sia a coloro che avessero optato per l'interpretazione BCD, ma non a coloro che avessero optato per l'interpretazione ABC + BCD.
"lackyluk":
Comunque, forse tornerò con una "interpretazione autentica" di quale fosse l'intenzione.
Intanto grazie.
Era un esercizio d'esame e le tre opzioni sono state considerate tutte corrette.
Quindi credo che, anche se implicitamente, si sia confermata la tesi della svista nell'"adattamento"
Comunque, per quello che vale, a me è sembrato più corretto adottare l'interpretazione ABC + BCD proprio perchè non risultava alcun criterio evidente per scegliere ABC o BCD, portandomi di conseguenza ad adottare ABC + BCD, che risultava coerente con il testo anche prendendo in considerazione 8xy = 1 in maniera anomala (due volte!!!).
Di fatto, l'esercizio si semplifica, e questo non era necessariamente un bene. So di chi ha interpretato come me, facendo però doppia fatica procedendo al calcolo separato di ABC e BCD per poi sommare.
Grazie a tutti, in particolare a te pilloeffe, un saluto.
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