Dubbio annichilatore
Ciao a tutti,
ho un dubbio sul seguente esercizio sulle EDO:
Avendo l'operatore differenziale $L=(D^2+3D+9)^2$
si determinino le soluzioni di $L[y(x)]=0$
e fin qua non ho problemi. Risolvendo l'equazione caratteristica trovo le soluzioni complesse di molteciplità 2
$\lambda_{1,2}=-\frac{3}{2} +- \frac{3i\sqrt{3}}{2}$
Avendo come integrale generale:
$y(x)=c_1e^{-3/2x}\cos(\frac{3\sqrt{3}}{2}x)+c_2e^{-3/2x}\sin(\frac{3\sqrt{3}}{2}x)+c_3xe^{-3/2x}\cos(\frac{3\sqrt{3}}{2}x)+c_4xe^{-3/2x}\sin(\frac{3\sqrt{3}}{2}x)$
Poi dovrei determinare le soluzioni della non omogenea $L[y(x)]=b(x)$ con $b(x)=27-108x-81x^2$
ora l'annichilatore di $b(x)$ è senz'altro $A=D^3$
però nel mio operatore differenziale, mi compare addirittura un fattore $D^4$. Il mio dubbio è: in che modo va scelto il polinomio per la sol. particolare? per caso di ordine 6?
ho un dubbio sul seguente esercizio sulle EDO:
Avendo l'operatore differenziale $L=(D^2+3D+9)^2$
si determinino le soluzioni di $L[y(x)]=0$
e fin qua non ho problemi. Risolvendo l'equazione caratteristica trovo le soluzioni complesse di molteciplità 2
$\lambda_{1,2}=-\frac{3}{2} +- \frac{3i\sqrt{3}}{2}$
Avendo come integrale generale:
$y(x)=c_1e^{-3/2x}\cos(\frac{3\sqrt{3}}{2}x)+c_2e^{-3/2x}\sin(\frac{3\sqrt{3}}{2}x)+c_3xe^{-3/2x}\cos(\frac{3\sqrt{3}}{2}x)+c_4xe^{-3/2x}\sin(\frac{3\sqrt{3}}{2}x)$
Poi dovrei determinare le soluzioni della non omogenea $L[y(x)]=b(x)$ con $b(x)=27-108x-81x^2$
ora l'annichilatore di $b(x)$ è senz'altro $A=D^3$
però nel mio operatore differenziale, mi compare addirittura un fattore $D^4$. Il mio dubbio è: in che modo va scelto il polinomio per la sol. particolare? per caso di ordine 6?
Risposte
Basta un polinomio di 2° grado ( a coefficienti in R) e lo si può trovare direttamente senza l'uso degli annichilatori..
Con gli annichilatori,e se la memoria...non m'inganna,il procedimento è il seguente.
Cosideriamo l'operatore \(\displaystyle AL= LA =(D^2+3D+9)^2D^3 \) e troviamo una base di \(\displaystyle Ker(LA) \)
Il polinomio caratteristico di \(\displaystyle LA \) è \(\displaystyle (r^2+3r+9)^2r^3 \),le cui radici sono:
\(\displaystyle r=-\frac{3}{2} \pm \frac{3}{2}i\sqrt3 ,r=0 \) , le prime due doppie e la terza tripla.
Pertanto la soluzione generale Y(x) dell'equazione omogenea \(\displaystyle LA(y(x))=0 \) è :
(1) \(\displaystyle Y(x)=A+Bx+Cx^2+y(x) \)
dove \(\displaystyle A,B,C \) sono costanti da determinare e \(\displaystyle y(x) \) è la soluzione da te già trovata.
Poiché l'operatore \(\displaystyle L \) annichila \(\displaystyle y(x) \) possiamo porre nella (1) \(\displaystyle c_i=0,i=1,2,3,4 \) e cercare \(\displaystyle A,B,C \) in modo che risulti:
\(\displaystyle L(A+Bx+Cx^2)=27-108x-81x^2 \)
Ovvero in modo che sia:
\(\displaystyle (D^2+3D+9)^2(A+Bx+Cx^2)=27-108x-81x^2 \)
Facendo i calcoli ed applicando il principio d'identità di due polinomi trovo che :
\(\displaystyle A=1,B=0,C=-1 \)
e quindi la soluzione richiesta è:
\(\displaystyle Y(x)=1-x^2+y(x) \)
Con gli annichilatori,e se la memoria...non m'inganna,il procedimento è il seguente.
Cosideriamo l'operatore \(\displaystyle AL= LA =(D^2+3D+9)^2D^3 \) e troviamo una base di \(\displaystyle Ker(LA) \)
Il polinomio caratteristico di \(\displaystyle LA \) è \(\displaystyle (r^2+3r+9)^2r^3 \),le cui radici sono:
\(\displaystyle r=-\frac{3}{2} \pm \frac{3}{2}i\sqrt3 ,r=0 \) , le prime due doppie e la terza tripla.
Pertanto la soluzione generale Y(x) dell'equazione omogenea \(\displaystyle LA(y(x))=0 \) è :
(1) \(\displaystyle Y(x)=A+Bx+Cx^2+y(x) \)
dove \(\displaystyle A,B,C \) sono costanti da determinare e \(\displaystyle y(x) \) è la soluzione da te già trovata.
Poiché l'operatore \(\displaystyle L \) annichila \(\displaystyle y(x) \) possiamo porre nella (1) \(\displaystyle c_i=0,i=1,2,3,4 \) e cercare \(\displaystyle A,B,C \) in modo che risulti:
\(\displaystyle L(A+Bx+Cx^2)=27-108x-81x^2 \)
Ovvero in modo che sia:
\(\displaystyle (D^2+3D+9)^2(A+Bx+Cx^2)=27-108x-81x^2 \)
Facendo i calcoli ed applicando il principio d'identità di due polinomi trovo che :
\(\displaystyle A=1,B=0,C=-1 \)
e quindi la soluzione richiesta è:
\(\displaystyle Y(x)=1-x^2+y(x) \)
Ti ringrazio Vittorino della risposta, però ne approfitto per richiederti un dubbio tecnico nei passaggi che non ho ancora sanato.
Se l'operatore è $L=(D^2+3D+9)^2$ e l'operatore che mi annichila $b(x)$ è $A=D^3$ come sarà l'operatore $A[L(y)]$ su cui andrò a determinare le soluzioni generali?
Per capirsi dovrebbe essere:
$D^3(D^2+3D+9)^2$ ma non posso prendere unicamente quello di grado massimo?
Io ad esempio sceglierei $D^3$ ma poi come va derivata la soluzione generale da inserire nell'equazione di partenza e determinare i coefficienti del polinomio?
E' proprio l'applicazione dell'operatore che mi sfugge
grazie
Se l'operatore è $L=(D^2+3D+9)^2$ e l'operatore che mi annichila $b(x)$ è $A=D^3$ come sarà l'operatore $A[L(y)]$ su cui andrò a determinare le soluzioni generali?
Per capirsi dovrebbe essere:
$D^3(D^2+3D+9)^2$ ma non posso prendere unicamente quello di grado massimo?
Io ad esempio sceglierei $D^3$ ma poi come va derivata la soluzione generale da inserire nell'equazione di partenza e determinare i coefficienti del polinomio?
"vittorino70":
Ovvero in modo che sia:
\(\displaystyle (D^2+3D+9)^2(A+Bx+Cx^2)=27-108x-81x^2 \)
E' proprio l'applicazione dell'operatore che mi sfugge
grazie
Spero di aver interpretato bene i tuoi dubbi.Sulla prima parte non hai bisogno di sapere come agisce l'operatore LA.Dato che devi trovare una base del Ker ,devi risolvere l'equazione LA(y)=0 ( che è omogenea) e quindi ti basta risolvere l'equazione caratteristica associata ad LA che ,come si è detto ,è : \(\displaystyle r^3(r^2+3r+9)^2=0 \) e da qui parti per arrivare alla soluzione generale Y(x).Per la seconda parte ,mi pare di capire che sei perplesso su come applicare l'operatore \(\displaystyle L=(D^2+3D+9)^2 \).
Per fare questo bisogna ricordare che \(\displaystyle (D^2+3D+9)^2 \) si può sviluppare simbolicamente come se fosse il quadrato di un trinomio e che le potenze successive di D non sono altro che le derivate successive della funzione su cui si applica D.Nel nostro caso hai:
\(\displaystyle (D^2+3D+9)^2(A+Bx+Cx^2)=(D^4+6D^3+27D^2+54D+81)(A+Bx+Cx^2)= \)
\(\displaystyle = (A+Bx+Cx^2)^{''''}+6 (A+Bx+Cx^2)^{'''}+27(A+Bx+Cx^2)^{''}+54(A+Bx+Cx^2)^{'}+81(A+Bx+Cx^2)=\)
\(\displaystyle =0+0+27(2C) +54(B+2Cx)+81(A+Bx+Cx^2)=\)
\(\displaystyle (81A+54B+54C)+(81B+108C)x+(81C)x^2 \)
Eguagliando a \(\displaystyle 27-108x-81x^2 \) hai il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases} 81A+54B+54C=27\\81B+108C=-108\\81C=-81\end{cases} \)
Da cui ricavi \(\displaystyle A=1,B=0,C=-1 \) e quindi la soluzione particolare \(\displaystyle \bar{y}=1-x^2 \)
Per fare questo bisogna ricordare che \(\displaystyle (D^2+3D+9)^2 \) si può sviluppare simbolicamente come se fosse il quadrato di un trinomio e che le potenze successive di D non sono altro che le derivate successive della funzione su cui si applica D.Nel nostro caso hai:
\(\displaystyle (D^2+3D+9)^2(A+Bx+Cx^2)=(D^4+6D^3+27D^2+54D+81)(A+Bx+Cx^2)= \)
\(\displaystyle = (A+Bx+Cx^2)^{''''}+6 (A+Bx+Cx^2)^{'''}+27(A+Bx+Cx^2)^{''}+54(A+Bx+Cx^2)^{'}+81(A+Bx+Cx^2)=\)
\(\displaystyle =0+0+27(2C) +54(B+2Cx)+81(A+Bx+Cx^2)=\)
\(\displaystyle (81A+54B+54C)+(81B+108C)x+(81C)x^2 \)
Eguagliando a \(\displaystyle 27-108x-81x^2 \) hai il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases} 81A+54B+54C=27\\81B+108C=-108\\81C=-81\end{cases} \)
Da cui ricavi \(\displaystyle A=1,B=0,C=-1 \) e quindi la soluzione particolare \(\displaystyle \bar{y}=1-x^2 \)
Perfetto, quindi io ho capito questo:
Si tratta di risolvere il sistema:
${(L[y(x)]=0 \ \ (1)),(A[L(y)]=0 \ \ (2) ):}$
Per la prima risolvo l'equazione caratteristica $(D^2+3D+9)^2=0$ da cui le radici complesse coniugate "doppie"
Per la $(2)$ invece, trovo $A=D^3$ e ciò che dovrei risolvere sarebbe l'equazione
$D^3(D^2+3D+9)^2=0$
Ma sapendo che l'integrale generale deve essere un polinomio di grado 2 e siccome $D^3$ ha molteciplità inferiore a $(D^2+3D+9)^2$ mantengo solamente l'operatore $(D^2+3D+9)^2$ applicato al polinomio generico $A+Bx+Cx^2$
è giusto il ragionamento?
Si tratta di risolvere il sistema:
${(L[y(x)]=0 \ \ (1)),(A[L(y)]=0 \ \ (2) ):}$
Per la prima risolvo l'equazione caratteristica $(D^2+3D+9)^2=0$ da cui le radici complesse coniugate "doppie"
Per la $(2)$ invece, trovo $A=D^3$ e ciò che dovrei risolvere sarebbe l'equazione
$D^3(D^2+3D+9)^2=0$
Ma sapendo che l'integrale generale deve essere un polinomio di grado 2 e siccome $D^3$ ha molteciplità inferiore a $(D^2+3D+9)^2$ mantengo solamente l'operatore $(D^2+3D+9)^2$ applicato al polinomio generico $A+Bx+Cx^2$
è giusto il ragionamento?
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