Dubbio amletico su una serie numerica

[Tea-Rex]

Ciao a tutti!
Mi sto cimentando con una serie numerica sempre di un tema d'esame. In questo caso la richiesta è capire se essa sia oscillante, se converge o diverge.

$\sum_{1}^{+\infty} (5^n+(2n)!)/(n^(2n))$

La funzione non può essere oscillante in quanto presenta tutti i termini positivi, quindi essa può essere divergente o convergente.

Ora provo ad analizzare il termine generale della serie e uso il corollario del teorema del confronto: siano $a_n$ e $b_n$ due serie numeriche a termini definitivamente positivi, se $a_n$ $\tilde$ $b_n$, allora le due serie hanno lo stesso carattere.

Uso il rapporto tra gli infiniti: $(a^n)^c$<<$n!$<<$n^n$

$\sum_{1}^{+\infty} (5^n+(2n)!)/(n^(2n))$ $\tilde$ $\sum_{1}^{+\infty} ((2n)!)/(n^(2n))$ $tilde$ $\sum_{1}^{+\infty} 1/(n^(2n))$ definitivamente.
Dato che quest'ultima serie non è altro che una serie geometrica di ragione $1/n^(2n)$, essa converge.

La logica è corretta o sono caduto in una delle solite trappole che sono bravissimo a mettermi da solo davanti ai piedi?

[otta96]

Il fatto che $n!

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[pilloeffe]

Sì, funziona... In alternativa si poteva anche osservare che si ha:

$\sum_{n = 1}^{+\infty} (5^n+(2n)!)/(n^(2n)) = \sum_{n = 1}^{+\infty} frac{5^n}{n^{2n}} + \sum_{n = 1}^{+\infty} frac{(2n)!}{n^{2n}}$

ed usare per la prima serie il criterio della radice e per la seconda il criterio del rapporto. Risulta convergente.