Dubbio algebra su simboli di Landau
Ciao a tutti, ho un dubbio..
Prendiamo una funzione abbastanza semplice da sviluppare:
[tex]2x*ln(1+3x)[/tex]
Lo sviluppo (lasciando da parte [tex]2x[/tex] per il momento) risulta essere secondo i miei calcoli:
[tex]3x-(9/2)x^2+9x^3-(81/4)x^4+o(x^4)[/tex]
Ora però, tutto ciò va moltiplicato per quel [tex]2x[/tex] iniziale..e qua mi sorge il dubbio!
Moltiplicando tutto, devo fare anche [tex]2x*o(x^4)[/tex] che verrebbe [tex]o(x^5)[/tex] ..o sbaglio? Così facendo non va via nulla..invece se non faccio questa operazione andrebbe via un [tex]x^5[/tex] (ovviamente quella derivante dalla moltiplicazione [tex]2x*((-81/4)x^4)[/tex] )
Insomma, è da fare l'ultima moltiplicazione con l'o piccolo oppure no?
Grazie.
Prendiamo una funzione abbastanza semplice da sviluppare:
[tex]2x*ln(1+3x)[/tex]
Lo sviluppo (lasciando da parte [tex]2x[/tex] per il momento) risulta essere secondo i miei calcoli:
[tex]3x-(9/2)x^2+9x^3-(81/4)x^4+o(x^4)[/tex]
Ora però, tutto ciò va moltiplicato per quel [tex]2x[/tex] iniziale..e qua mi sorge il dubbio!
Moltiplicando tutto, devo fare anche [tex]2x*o(x^4)[/tex] che verrebbe [tex]o(x^5)[/tex] ..o sbaglio? Così facendo non va via nulla..invece se non faccio questa operazione andrebbe via un [tex]x^5[/tex] (ovviamente quella derivante dalla moltiplicazione [tex]2x*((-81/4)x^4)[/tex] )
Insomma, è da fare l'ultima moltiplicazione con l'o piccolo oppure no?
Grazie.
Risposte
Certo che è da fare...
Non capisco cosa ci sia di male nel fatto che rimangano un [tex]$x^5$[/tex] ed un [tex]$\text{o}(x^5)$[/tex]. Perchè ti dovrebbe "andar via" qualche termine?
Non capisco cosa ci sia di male nel fatto che rimangano un [tex]$x^5$[/tex] ed un [tex]$\text{o}(x^5)$[/tex]. Perchè ti dovrebbe "andar via" qualche termine?
In effetti dovrebbe rimanere, è solo che solitamente molte cose vanno via ed è la prima volta che mi capita di tenere tutto (e soprattutto di moltiplicare in questo modo)... ora sono più tranquillo (ansia pre esame 
)
Grazie mille per la conferma!
)Grazie mille per la conferma!
Non riesco a capire..mi è stato detto che la moltiplicazione è da fare. A questo punto allora non mi spiego la soluzione dell'esercizio 7 dei primi sviluppi nel pdf in spoiler.
L'esericizio arriva al fondo con tale sviluppo:
[tex]f(x)=((-x+(x^2/2)-(x^3/6)+(x^4/24)+o(x^4))^3=-x^3+(3/2x^4)+o(x^4)[/tex]
non me lo spiego proprio, io come risultato avevo incluso tutti i valori fino a [tex]o(x^6)[/tex] (non [tex]o(x^12)[/tex] perchè sviluppando il cubo il piu piccolo "o piccolo" risultava essere prioprio quello di ordine 6).
L'esericizio arriva al fondo con tale sviluppo:
[tex]f(x)=((-x+(x^2/2)-(x^3/6)+(x^4/24)+o(x^4))^3=-x^3+(3/2x^4)+o(x^4)[/tex]
non me lo spiego proprio, io come risultato avevo incluso tutti i valori fino a [tex]o(x^6)[/tex] (non [tex]o(x^12)[/tex] perchè sviluppando il cubo il piu piccolo "o piccolo" risultava essere prioprio quello di ordine 6).
Ad arriva al fondo bene.
Infatti se [tex]$f\in \text{o} (x^6)$[/tex] oppure [tex]$f\in \text{o} (x^5)$[/tex] allora a fortiori [tex]$f\in \text{o}(x^4)$[/tex]; quindi se hai una somma del tipo [tex]$\text{qualcosa} +\text{o}(x^4)+\text{o}(x^5)+\text{o}(x^6)$[/tex] è evidente che puoi accorpare tutti gli [tex]$\text{o}$[/tex]-piccoli d'ordine superiore in un unico [tex]$\text{o} (x^4)$[/tex] e scrivere l'espressione precedente come [tex]$\text{qualcosa} +\text{o}(x^4)$[/tex].
Il problema è che ti sei saltato questa considerazione finale, non che hai fatto i prodotti.
Poi, così ad occhio, avresti dovuto notare che non c'è bisogno di sviluppare la base della potenza fino al quarto ordine per via del fatto che devi elevare al cubo.
Infatti se hai uno sviluppo di Taylor troncato all'ordine [tex]$N$[/tex] e lo elevi alla potenza [tex]$k$[/tex]-esima, l'ordine minore tra quelli degli [tex]$\text{o}$[/tex]-piccolo nel corrispondente sviluppo della potenza è sempre [tex]$=N+(k-1)n$[/tex], in cui [tex]$n$[/tex] è il minore degli ordini che figurano nello sviluppo dei Taylor della base.
Nel tuo caso [tex]$n=1$[/tex], [tex]$k=3$[/tex] e tu vuoi determinare uno sviluppo al quarto ordine per [tex]$(f(x))^k$[/tex]; a che ordine devi troncare lo sviluppo della base della potenza [tex]$f(x)[/tex]$?
Beh, all'ordine [tex]$N=4-(k-1)n=4-2=2$[/tex].
Proviamo: si ha:
[tex]$e^{-x}-1=-x+\frac{x^2}{2}+\text{o} (x^2)$[/tex]
quindi:
[tex]$(e^{-x}-1)^3 =[-x+\frac{x^2}{2} +\text{o} (x^2)]^3$[/tex]
[tex]$=-x^3+\frac{3x^4}{2}+\underbrace{\frac{x^6}{8}-\frac{3x^5}{4}+\text{o}(x^4)+\text{o}(x^5)+\text{o}(x^6)}_{=\text{o}(x^4)}$[/tex]
[tex]$=-x^3+\frac{3x^4}{2} +\text{o}(x^4)$[/tex].
Questo ti risparmia alcuni conti in più.
Se invece ti fermi al primo ordine ti ritrovi con:
[tex]$e^{-x}-1 =-x +\text{o} (x)$[/tex]
quindi:
[tex]$(e^{-x}-1)^3=[-x +\text{o} (x)]^3$[/tex]
[tex]$=-x^3+\text{o}(x^3)$[/tex]
che non ti serve perchè non contiene nulla del quarto ordine.
Infatti se [tex]$f\in \text{o} (x^6)$[/tex] oppure [tex]$f\in \text{o} (x^5)$[/tex] allora a fortiori [tex]$f\in \text{o}(x^4)$[/tex]; quindi se hai una somma del tipo [tex]$\text{qualcosa} +\text{o}(x^4)+\text{o}(x^5)+\text{o}(x^6)$[/tex] è evidente che puoi accorpare tutti gli [tex]$\text{o}$[/tex]-piccoli d'ordine superiore in un unico [tex]$\text{o} (x^4)$[/tex] e scrivere l'espressione precedente come [tex]$\text{qualcosa} +\text{o}(x^4)$[/tex].
Il problema è che ti sei saltato questa considerazione finale, non che hai fatto i prodotti.
Poi, così ad occhio, avresti dovuto notare che non c'è bisogno di sviluppare la base della potenza fino al quarto ordine per via del fatto che devi elevare al cubo.
Infatti se hai uno sviluppo di Taylor troncato all'ordine [tex]$N$[/tex] e lo elevi alla potenza [tex]$k$[/tex]-esima, l'ordine minore tra quelli degli [tex]$\text{o}$[/tex]-piccolo nel corrispondente sviluppo della potenza è sempre [tex]$=N+(k-1)n$[/tex], in cui [tex]$n$[/tex] è il minore degli ordini che figurano nello sviluppo dei Taylor della base.
Nel tuo caso [tex]$n=1$[/tex], [tex]$k=3$[/tex] e tu vuoi determinare uno sviluppo al quarto ordine per [tex]$(f(x))^k$[/tex]; a che ordine devi troncare lo sviluppo della base della potenza [tex]$f(x)[/tex]$?
Beh, all'ordine [tex]$N=4-(k-1)n=4-2=2$[/tex].
Proviamo: si ha:
[tex]$e^{-x}-1=-x+\frac{x^2}{2}+\text{o} (x^2)$[/tex]
quindi:
[tex]$(e^{-x}-1)^3 =[-x+\frac{x^2}{2} +\text{o} (x^2)]^3$[/tex]
[tex]$=-x^3+\frac{3x^4}{2}+\underbrace{\frac{x^6}{8}-\frac{3x^5}{4}+\text{o}(x^4)+\text{o}(x^5)+\text{o}(x^6)}_{=\text{o}(x^4)}$[/tex]
[tex]$=-x^3+\frac{3x^4}{2} +\text{o}(x^4)$[/tex].
Questo ti risparmia alcuni conti in più.
Se invece ti fermi al primo ordine ti ritrovi con:
[tex]$e^{-x}-1 =-x +\text{o} (x)$[/tex]
quindi:
[tex]$(e^{-x}-1)^3=[-x +\text{o} (x)]^3$[/tex]
[tex]$=-x^3+\text{o}(x^3)$[/tex]
che non ti serve perchè non contiene nulla del quarto ordine.
Chiarissimo! Grazie ancora una volta!
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