Dubbio alcune proposizioni su $NN$.

[Kashaman]

Sono relativamente semplici, ma sempre è bene togliersi i dubbi..
Prop1 : $AA n in NN\\{0} : 2^n>=n+1$
dim : Mi domando se è corretto agire così.
Per induzione, $P_1 : 2^1>=1+1=2$ è vera. Supponiamo ora vera $P_n$ e dimostriamo $P_(n+1)$ ,
ho che $P_(n+1) : 2^(n+1)=2^n*2>=2(n+1)=2n+2=(n+1)+1+1>=(n+1)+1=> 2^(n+1)>=(n+1)+1$ , la tesi. Dunque $AAn in NN* : 2^n>=n+1$ è giusta? Sfrutta il fatto che essendo $2(n+1)>0 => 2(n+1)>=n+2$
Diseguaglianza di Bernulli.
Sia $a in RR$, $n in NN\\{0}$ allora $(1+a)^n>=1+na$
dim :
Per $n=1$ la tesi è vera, infatti $(1+a)^1>=1+1*a=1+a$. Supposta la tesi per $n$, dimostriamola per $n+1$.
Ho che $(1+a)^(n+1) = (1+a)^n*(1+a)>=${per ipotesi induttiva}$(1+na)(1+a)=1+a+na+na^2=1+na+a+na^2$
la qual somma è positiva (confido che a occhio direi che è così , perché mi ricorda un quadrato di binomio, ma la verità qual'è?)
Da cui $(1+a)^(n+1)>=1+na+a+na^2>=1+(n+1)a$ e cioè l'asserto. E corretta?
grazie mille

[theras]

Direi che ci siamo ma,nella seconda,
avrei verificato che $P(n)$ è vera$rArrP(n+1)$ è vera procedendo in modo analogo al tuo,
ed avrei concluso dicendo che certamente $1+na+a+na^2>1+(n+1)a$ per il semplice fatto che ciò equivale ad affermare l'ovvia disuguaglianza $na^2>=0$;
nella prima avresti potuto risparmiarti il procedimento dimostrativo per induzione
(và bene,in senso lato,perchè lo si usa per verificare rigorosamente la regola del binomio di Newton dopo averla intuita per questioni combinatorie "pratiche"..),
semplicemente osservando che $2^n=(1+1)^n=((n),(0))+((n),(1))+..+((n),(n))=1+n+....>=1+n+0=1+n$:
questione di gusti!
Saluti dal web.

[Kashaman]

thanks theras