Dubbi vari su esercizi!
Buonasera 
Preparandomi per un esame di Analisi 1 (corso di laurea in Matematica) mi sono sorti diversi dubbi, che spero qualcuno vorrà dileguarmi 
1) Esercizio cattivissimo c.c
\( \sum \frac{\sin(nx + \beta)}{n^\alpha} \)
Dimostrare che converse qualsiasi \(\beta \), qualsiasi \(\alpha \geq 0 \) e qualsiasi \( x \neq 0 \).
Avevo pensato di utilizzare Abel: in tal caso basta dimostrare che le somme parziali di \( \sum \sin(nx + \beta) \) sono limitate; per fare ciò, ho scritto \( \sin(nx + \beta) = \sin nx\cos\beta + \cos nx\sin\beta \). Poi scindevo la somma, ma.. Risultati zero
Idee?
2) Altro esercizietto ma meno cattivo
Dire se converge la serie \( \sum \frac{n^(n^\frac{1}{2})}{2^n} \) . E' scritta in maniera barbara visto che non riesco a fare meglio o.o al numeratore abbiamo una n elevata a radice di n.
Ho usato il criterio della radice n-esima, ottenendo un limite uguale a \( \frac{1}{2} \). Ma mi chiedevo se è possibile affermare in maniera semplicistica, senza dimostrazione, che la radice n-esima di quel numeratore è 1, visto che è minore di \( n! \).
3) e ultimo!
dimostrare che la funzione \( \frac{1}{x} \) è uniformemente continua in \( (\alpha , 1) \) con \( 0 \lneq \alpha \lneq 1 \)
Ho provato a farlo con la definizione di uniforme continuità, ma senza successo..
Ringrazio in anticipo, a voi
Preparandomi per un esame di Analisi 1 (corso di laurea in Matematica) mi sono sorti diversi dubbi, che spero qualcuno vorrà dileguarmi 1) Esercizio cattivissimo c.c
\( \sum \frac{\sin(nx + \beta)}{n^\alpha} \)
Dimostrare che converse qualsiasi \(\beta \), qualsiasi \(\alpha \geq 0 \) e qualsiasi \( x \neq 0 \).
Avevo pensato di utilizzare Abel: in tal caso basta dimostrare che le somme parziali di \( \sum \sin(nx + \beta) \) sono limitate; per fare ciò, ho scritto \( \sin(nx + \beta) = \sin nx\cos\beta + \cos nx\sin\beta \). Poi scindevo la somma, ma.. Risultati zero
Idee?2) Altro esercizietto ma meno cattivo
Dire se converge la serie \( \sum \frac{n^(n^\frac{1}{2})}{2^n} \) . E' scritta in maniera barbara visto che non riesco a fare meglio o.o al numeratore abbiamo una n elevata a radice di n.
Ho usato il criterio della radice n-esima, ottenendo un limite uguale a \( \frac{1}{2} \). Ma mi chiedevo se è possibile affermare in maniera semplicistica, senza dimostrazione, che la radice n-esima di quel numeratore è 1, visto che è minore di \( n! \).
3) e ultimo!
dimostrare che la funzione \( \frac{1}{x} \) è uniformemente continua in \( (\alpha , 1) \) con \( 0 \lneq \alpha \lneq 1 \)
Ho provato a farlo con la definizione di uniforme continuità, ma senza successo..
Ringrazio in anticipo, a voi
Risposte
"Fanna_60":
1) Esercizio cattivissimo c.c
\( \sum \frac{\sin(nx + \beta)}{n^\alpha} \)
Dimostrare che converse qualsiasi \(\beta \), qualsiasi \(\alpha \geq 0 \) e qualsiasi \( x \neq 0 \).
Sara' anche cattivissimo, ma se prendo $x = 2\pi, \beta = (\pi)/(2), \alpha =1$ converge ?
No! .__.
Per dimostrare che le somme parziali della serie dei seni sono limitate devi usare in modo furbo la relazione euleriana che consente di esprimere il seno come combinazione lineare di esponenziali complessi. Prova a vedere che ne tiri fuori. 
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