Dubbi vari funzioni a due variabili
Quando ci si trova a studiare la natura dei punti critici con hessiano nullo vorrei capire se si arriva allo stesso risultato sia usando ad esempio:f(x,x) oppure f(x,0) e f(0,y) oppure f(x,mx).A volte usando una di queste restrizioni e studiando i punti critici ad una variabile mi viene che sono diversi da quella a due variabili.è possibile?
Risposte
con hessiano nullo intendi la matrice hessiana con tutte le entrate nulle? perchè in questo caso hai che la forma è semidefinita, e non puoi dire nulla sulla natura del punto critico. devi allora sfruttare delle restrizioni.
non capisco cosa significa che ti vengono risultati diversi.. porta un esempio se puoi
non capisco cosa significa che ti vengono risultati diversi.. porta un esempio se puoi
si intendo tutti quei casi dove la matrice hessiana non ci è di aiuto e dobbiamo per forza utilizzare delle restrizioni. Non ho ben capito che tipo di restrizioni utilizzare e perchè
mi ricordo pochi casi del genere, e peraltro mi pareva fossero abbastanza semplici (pensa ad un paraboloide).. sarebbe meglio se andassi a riguardarmi quella parte, comunque posso darti una giustificazione.
ammesso che la funzione sia differenziabile nel punto che ti interessa, puoi stabilire la sua natura considerando le restrizioni lungo rette della funzione in quel punto: è come sezionarla, e lungo ogni "sezione" guardi la derivata seconda della funzione (che così diventa una funzione della sola variabile x) in quel punto. se tutte le derivate seconde sono positive, allora il punto è di minimo relativo. se hai almeno una derivata seconda nulla, il punto non è di estremo. se sono tutte negative hai un punto di massimo.
ammesso che la funzione sia differenziabile nel punto che ti interessa, puoi stabilire la sua natura considerando le restrizioni lungo rette della funzione in quel punto: è come sezionarla, e lungo ogni "sezione" guardi la derivata seconda della funzione (che così diventa una funzione della sola variabile x) in quel punto. se tutte le derivate seconde sono positive, allora il punto è di minimo relativo. se hai almeno una derivata seconda nulla, il punto non è di estremo. se sono tutte negative hai un punto di massimo.
Se serve un esercizio-esempio, ve lo indico io:
P.S.: Si dice "funzione di due variabili".
Studiare la natura dei punti critici della funzione:
[tex]$f(x,y):= x^4-2x^2+(e^x-y)^4$[/tex].
P.S.: Si dice "funzione di due variabili".
scusatemi se vi rispondo solo ora ma ieri notte sono precipitato nei sogni...
Un esempio molto semplice che riporto è questo:
$x^3-y^3+xy$
in questo caso possiamo studiare la natura del punto tramite la matrice hessiana ma per esercizio lo farò solo tramite restrizioni.
I punti cirtici sono:(0,0);(1/3,-1/3).
Per quanto riguarda il punto (0,0) ho proceduto così:
$f(x,0)=x^3$ che derivato è =$3x^2$,ora la derivata è 0 per $x=0$ è $>0$ per $x>0$ è $<0$ per $x<0$,quindi 0 è un minimo relativo
poi:
$f(0,y)=-y^3$ che derivato è=$-3y^2$ è ammette 0 come punto stazionario ed è $<0$ per $y>0$ ed è $>0$ per $y<0$ quindi è un max relativo,
ora considerando che prima mi risultava un punto di minimo posso concludere che è un punto di sella.
Ditemi se ho fatto bene
Ora per studiare il punto critico (1/3,-1/3),che restrizioni devo fare?
Un esempio molto semplice che riporto è questo:
$x^3-y^3+xy$
in questo caso possiamo studiare la natura del punto tramite la matrice hessiana ma per esercizio lo farò solo tramite restrizioni.
I punti cirtici sono:(0,0);(1/3,-1/3).
Per quanto riguarda il punto (0,0) ho proceduto così:
$f(x,0)=x^3$ che derivato è =$3x^2$,ora la derivata è 0 per $x=0$ è $>0$ per $x>0$ è $<0$ per $x<0$,quindi 0 è un minimo relativo
poi:
$f(0,y)=-y^3$ che derivato è=$-3y^2$ è ammette 0 come punto stazionario ed è $<0$ per $y>0$ ed è $>0$ per $y<0$ quindi è un max relativo,
ora considerando che prima mi risultava un punto di minimo posso concludere che è un punto di sella.
Ditemi se ho fatto bene
Ora per studiare il punto critico (1/3,-1/3),che restrizioni devo fare?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo