Dubbi teorema

[artas1]

Nella dimostrazione del teorema di Weierstass, quando viene introdotta una funzione ausiliaria
y(x)=1/(M-f(x)), cosa ci garantisce che la y(x) è una funzione continua e limitata nello stesso
intervallo di f(x)?

[Principe2]

1) di quale teorema di Weierstrass parli?

2) cos'è M?

[artas1]

una funzione continua e limitata in [a,b] è ivi sempre dotata di massimo e minimo

M=Max f(x)
[a,b]

[WonderP1]

Il teorema di Weierstrass dice: se f è continua in un insieme compatto I di R^k essa ha massimo e minimo in I.
Intendi questo teorema? Nella dimostrazione che conosco non c'è nessun termine y(x)=1/(M-f(x))

WonderP.

[Principe2]

come supponevo! dove hai preso quella funzione ausiliaria? si deve dimostrare che f(x) ammette massimo in [a,b], quindi non possiamo porre M = maxf(x).
io conosco una dimostrazione molto bella che non fa uso di questa f. ausiliaria, ma prima di postartela, dimmi se la vuoi, dato che è piuttosto impegnativa.
ciao, ubermensch

[artas1]

Allora vi posto il teorema testualmente, cmq se volete propormi altre versioni, prego!

Facciamo vedere che esiste un x1 e un x2 app. [a,b] per cui risulta x1=m e x2= M

Dimostriamo per assurdo ciò nel primo caso cioè f(x1)=m (PerOgni x app. [a,b] risulta f(x)>m)
per fare ciò consideriamo una funzione ausiliaria F(x)=1/(f(x)-m) la quale risulta evidentemente una
funzione continua nell'intervallo [a,b], ciò implicherebbe per quanto detto nella prima parte
che la funzione è limitata e che questo è assurdo infatti cmq si assegni un numero K grande a piacere
per la 2° proprietà dell'estremo inferiore si riesce a trovare un x3 per cui risulta f(x3) f(x) non è limitata, ciò prova l'esistenza di almeno un x1 ...

[Principe2]

sinceramente la tua dimostrazione non mi è molto chiara: non mi è chiara la definizione della f.ausiliaria.. spero che qualcun altro ci venga in aiuto!...
ti posto nel frattempo la mia dimostrazione.

sia M=sup{f(x)t.c. x elemento di[a,b]}
dimostriamo che esiste una successione di punti x(n) tali che per n-->+oo allora x(n)-->M
osserviamo che per ogni n esiste x(n) in [a,b] tale che
M-1/n < f(xn) < M
ne consegue che f(xn)-->M

poichè x(n) è limitata, per il teorema di bolzano Weierstrass ammette una sottosuccessione convergente.
quindi x(nk)--->xo
dalla continuità della f abbiamo che f(x(nk))--->f(xo)
quindi:
M = lim f(x(n)) = lim f(x(nk)) = f(xo)
nota: il primo limite è al divergere di n, il secondo al divewrgere di k.
in conclusione f(xo) = M = sup{f(x)t.c. x elemento di [a,b]}

osserviamo che se ne deduce anche che M è finito.

spero sia chiara e d'aiuto.
ciao, ubermensch

[Cavia1]

Probabilmente il percorso seguito dal tuo prof è il seguente:
1. Una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato è uniformemente continua.
2. Una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato è limitata.
3. Una funzione continua f su un intervallo chiuso e limitato [a,b] ha max e min assoluti.
Il teorema 3 si dimostra poi così:
a) supponiamo per assurdo che f non abbia massimo
b) siccome f è limitata poniamo M=sup f(x) su [a,b].
c) siccome f non ha massimo è sempre M-f(x)>0
d) la funzione g(x)=1/(M-f(x)) è continua perchè è il quoziente di funzioni continue con denominatore sempre diverso da zero.
e) g(x) non è limitata. Assurdo!
Conclusione: f ammette max assoluto per almeno un certo x di [a,b]
Stessa cosa per il minimo.

Ovviamente ci sono tanti percorsi diversi per ottenere i teoremi delle funzionicontinue. Uno è quello che ho schematizzato, e credo sia quello dseguito dal tuo prof.

Cavia

[Principe2]

scusa cavia, ma c'è una grande differenza tra definire M=max.. o M=sup... l'errore era lì! o no?

[Cavia1]

Sì

Cavia