Dubbi sullo svolgimento di un'equazione differenziale

[alessi0_r1]

Salve, ho questa equazione differenziale con relativo problema di cauchy:

$ y'=(y-x)/(y+x) $
$ y(0)=1 $

Non dovrebbe essere neanche a variabili separabili se non sbaglio...il problema è che non so cosa fare per riscriverla

[gugo82]

Questa è una EDO a secondo membro omogeneo; si chiamano così le EDO del primo ordine in forma normale che hanno al secondo membro una funzione $f(x,y)$ omogenea.

Di solito, il trucco consiste nell'introdurre una nuova incognita definita ponendo \(y(x)=x\ u(x)\), cioè \(u(x)=\frac{y(x)}{x}\); tuttavia, dato che nel tuo caso la condizione iniziale è assegnata nel punto \(0\) e che per \(x=0\) la precedente relazione perde ogni significato, dobbiamo procedere in modo diverso.

Nel caso in esame, la soluzione del PdC $y(x)$ (che esiste ed è unica intorno a \(0\)) è crescente e positiva intorno a \(0\), quindi essa è invertibile ed ha senso considerare la funzione inversa che, per comodità denotiamo con \(x(y)\).
La funzione \(x\) è derivabile a norma del teorema di dervazione della funzione inversa e si ha:
\[
x^\prime (y)=\frac{1}{y^\prime (x(y))}\; ;
\]
usando la EDO, dalla precedente si ricava che \(x(y)\) soddisfa la EDO:
\[
x^\prime (y) = \frac{y+x(y)}{y-x(y)}
\]
con la condizione iniziale \(x(1)=0\).
Quindi \(x(y)\) soddisfa un problema di Cauchy a secondo membro omogeneo, perciò si può provare ad introdurre la variabile ausiliaria \(u(y)\) usando la relazione \(x(y)=y\ u(y)\), la quale non perde significato intorno al valore iniziale \(y=1\).
Dalla relazione precedente si ricavache \(u\) soddisfa la condizione iniziale \(u(1)=0\) e che:
\[
x^\prime (y) = u(y) + y\ u^\prime (y)
\]
sicché \(u\) soddisfa la EDO:
\[
u(y) + y\ u^\prime (y) = \frac{y+y\ u(y)}{y-y\ u(y)}
\]
ossia:
\[
y\ u^\prime (y) = \frac{1+u(y)}{1-u(y)} -u(y) = \frac{1+u^2(y)}{1-u(y)}\; .
\]
Conseguentemente, basta risolvere il PdC:
\[
\begin{cases} y\ u^\prime (y) = \frac{1+u^2(y)}{1-u(y)} \\
u(1)=0
\end{cases}
\]
che è a variabili separabili.

Risolto questo PdC, si determina \(x(y)\) usando la formula \(x(y)=y\ u(y)\).
Fatto ciò, si cerca di determinare \(y(x)\) risolvendo rispetto a \(x\) l'equazione \(x=y\ u(y)\) e tenendo presente che \(y(0)=1\); tuttavia ciò non è sempre possibile da fare "a mano" e bisogna accontentarsi della soluzione scritta in forma implicita...

[alessi0_r1]

Ah ecco...sinceramente non mi era mai capitato un caso del genere grazie mille per l'aiuto!