Dubbi sullo sviluppo di taylor di una funzione
Salve, ho questa funzione:
f(x)=(1+senx)^(senx)
devo scrivere lo sviluppo di taylor intorno all'origine fino all'ordine 3...il problema è naturalemente quel senx all'esponente come devo riscrivere il tutto?
f(x)=(1+senx)^(senx)
devo scrivere lo sviluppo di taylor intorno all'origine fino all'ordine 3...il problema è naturalemente quel senx all'esponente come devo riscrivere il tutto?
Risposte
Questa ti sarà d'aiuto:
\[ D \left [ f\, (x)^{g\, (x)} \right ] = f\, (x)^{g\, (x)}\, \left [ D\, [g\, (x)]\, \ln\, f\, (x) + \frac{g\, (x)\, D\, [f\, (x)]}{f\, (x)} \right ] \]
\[ D \left [ f\, (x)^{g\, (x)} \right ] = f\, (x)^{g\, (x)}\, \left [ D\, [g\, (x)]\, \ln\, f\, (x) + \frac{g\, (x)\, D\, [f\, (x)]}{f\, (x)} \right ] \]
@ Riccardo: ma tu per calcolare uno sviluppo di Taylor usi le derivate? E quanto ti ci vuole figlio bello???? 
@alessio: puoi scrivere la funzione come
$f(x)=e^{\sin x\cdot \log(1+\sin x)}$
e usare i seguenti sviluppi di MacLaurin notevoli:
$\sin t=t-t^3/6+o(t^3),\qquad \log(1+t)=t-t^2/2+t^3/3+o(t^3),\qquad e^t=1+t+t^2/2+t^3/6+o(t^3)$
dove, di volta in volta, $t$ va sostituito con il termine opportuno.
@alessio: puoi scrivere la funzione come
$f(x)=e^{\sin x\cdot \log(1+\sin x)}$
e usare i seguenti sviluppi di MacLaurin notevoli:
$\sin t=t-t^3/6+o(t^3),\qquad \log(1+t)=t-t^2/2+t^3/3+o(t^3),\qquad e^t=1+t+t^2/2+t^3/6+o(t^3)$
dove, di volta in volta, $t$ va sostituito con il termine opportuno.
"ciampax":
@ Riccardo: ma tu per calcolare uno sviluppo di Taylor usi le derivate? E quanto ti ci vuole figlio bello????
Non è stata un'idea felice, in effetti.
"ciampax":
@alessio: puoi scrivere la funzione come
$f(x)=e^{\sin x\cdot \log(1+\sin x)}$
e usare i seguenti sviluppi di MacLaurin notevoli:
$\sin t=t-t^3/6+o(t^3),\qquad \log(1+t)=t-t^2/2+t^3/3+o(t^3),\qquad e^t=1+t+t^2/2+t^3/6+o(t^3)$
dove, di volta in volta, $t$ va sostituito con il termine opportuno.
L'ho svolta però non torna il risultato, mi esce $ 1+x^2-x^3/6 $ invece di $ 1+x^2-x^3/2 $
Inoltre volevo chiederti non c'è magari un pdf o un appunto che spieghi come hai riscritto la funzione all'inizio? Ho alcune lagune sugli esponenziali...come hai scritto quel log(1+senx) all'esponente? perchè quando l'hai portato all'esponente ti ritrovavi con l'inversa dell'esponenziale (e quindi il logaritmo) oppure per qualche regola in particolare degli esponenziali o dei logaritmi?
E' una formula abbastanza usuale, che deriva dalla definizione stessa di esponenziale e logaritmo: se poni
$y=a^x$ per ottenere la funzione inversa scrivi $x=\log_a y$.
Da queste due seguono le identità
$y=a^{\log_a y}$ (quella che ho usato)
$x=\log_a a^x$ (che è la forma matematica dell'espressione a parole di cosa sia il logaritmo).
In particolare, se $y=[f(x)]^{g(x)}$ si ha
$y=e^{\log[f(x)]^{g(x)}}=e^{g(x)\log f(x)}$
dove ho applicato la proprietà $\log_a x^y=y\log_a x$.
P.S.: "lacune", se tu avessi delle lagune, staresti affogando!
$y=a^x$ per ottenere la funzione inversa scrivi $x=\log_a y$.
Da queste due seguono le identità
$y=a^{\log_a y}$ (quella che ho usato)
$x=\log_a a^x$ (che è la forma matematica dell'espressione a parole di cosa sia il logaritmo).
In particolare, se $y=[f(x)]^{g(x)}$ si ha
$y=e^{\log[f(x)]^{g(x)}}=e^{g(x)\log f(x)}$
dove ho applicato la proprietà $\log_a x^y=y\log_a x$.
P.S.: "lacune", se tu avessi delle lagune, staresti affogando!
Si infatti ho digitato male 
comunque capito grazie mille! dopo vedo di rifarla ci sta che magari ho sbagliato qualcosina e quindi non torna il risultato...
comunque capito grazie mille! dopo vedo di rifarla ci sta che magari ho sbagliato qualcosina e quindi non torna il risultato...
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