Dubbi sulle serie
Buongiorno a tutti ^^
Premetto che è da poco che sto studiando questo argomento e fin'ora ci ho capito poco e niente...comunque svolgendo degli esercizi mi sono venuti dei dubbi:
1) $\sum_{k=1}^\infty\ 1/k ln(1+1/root(4)(k))$
La spiegazione della prof dice che la serie converge perchè $1/k ln (1+1/root(4)(k))$ si comporta come $1/k 1/root(4)(k)$ Perchè succede questo? Cioè perchè il logaritmo si comporta così?
2) $\sum_{n=1}^\infty\ (x^{2n} 2^n(n+2)^n) /n^n$
Il suggerimento che ho è di usare $\lim_{n \to \infty} root(n)(|a_n|)$ ma non ho idea di come applicarlo. :S
Premetto che è da poco che sto studiando questo argomento e fin'ora ci ho capito poco e niente...comunque svolgendo degli esercizi mi sono venuti dei dubbi:
1) $\sum_{k=1}^\infty\ 1/k ln(1+1/root(4)(k))$
La spiegazione della prof dice che la serie converge perchè $1/k ln (1+1/root(4)(k))$ si comporta come $1/k 1/root(4)(k)$ Perchè succede questo? Cioè perchè il logaritmo si comporta così?
2) $\sum_{n=1}^\infty\ (x^{2n} 2^n(n+2)^n) /n^n$
Il suggerimento che ho è di usare $\lim_{n \to \infty} root(n)(|a_n|)$ ma non ho idea di come applicarlo. :S
Risposte
Scrivendo i miei dubbi ci ho ragionato su e sono arrivata a un paio di conclusioni.
1) il logaritmo per k che tende a infinito tende a $0$, quindi semplicemente anche $1/root(4)(k)$ per k che tende a infinito tende a $0$ e dunque posso considerare solo questo?
2) Penso di aver risolto il limite e il risultato viene $2x^2$. Quindi applicando il criterio della radice per $2x^2<1$ la serie converge, e per $2x^2>1$ diverge?
1) il logaritmo per k che tende a infinito tende a $0$, quindi semplicemente anche $1/root(4)(k)$ per k che tende a infinito tende a $0$ e dunque posso considerare solo questo?
2) Penso di aver risolto il limite e il risultato viene $2x^2$. Quindi applicando il criterio della radice per $2x^2<1$ la serie converge, e per $2x^2>1$ diverge?
1) Si, se hai una $f(n)$ infinitesima, ovvero che tende a $0$ quando $n$ tende a $+\infty$, puoi dire che almeno in prima approssimazione $log(1 +f(n)) \sim f(n)$
(piccola parentesi: in genere basta questo, se però l'approssimazione non è sufficiente allora devi sviluppare con taylor).
2) Esatto. Tuttavia non sai ancora come si comporta la serie per $2x^2 = 1$, e quel caso devi andartelo a fare "a mano": sostituisci nella serie $x^2 =1/2$ e studi la serie (stavolta di successioni e non di funzioni) che ti viene fuori.
(piccola parentesi: in genere basta questo, se però l'approssimazione non è sufficiente allora devi sviluppare con taylor).
2) Esatto. Tuttavia non sai ancora come si comporta la serie per $2x^2 = 1$, e quel caso devi andartelo a fare "a mano": sostituisci nella serie $x^2 =1/2$ e studi la serie (stavolta di successioni e non di funzioni) che ti viene fuori.
Grazie 
Invece quest'altra serie
$\sum_{n=0}^infty ((-1)^n)/root(4)(n^3 + 2)$ converge?
Invece quest'altra serie
$\sum_{n=0}^infty ((-1)^n)/root(4)(n^3 + 2)$ converge?
Ad occhio si, per dimostrarlo formalmente usa Leibniz (che è la prima cosa che ti deve venire immediatamente in mente quando hai una serie a segni alterni).
Sì infatti ho fatto così 
Forse sto iniziando a capirci qualcosa va XD
Forse sto iniziando a capirci qualcosa va XD
E secondo te, assolutamente, la serie converge? si/no/perchè
Non converge.
Infatti asintoticamente si comporta come la serie $\sum_{n=0}^\infty 1/n^(3/4)$ che non converge in quanto serie armonica generalizzata con esponente <1.
=)
Infatti asintoticamente si comporta come la serie $\sum_{n=0}^\infty 1/n^(3/4)$ che non converge in quanto serie armonica generalizzata con esponente <1.
=)
Brava impari in fretta
"killa":
Scrivendo i miei dubbi ci ho ragionato su e sono arrivata a un paio di conclusioni.
1) il logaritmo per k che tende a infinito tende a $0$, quindi semplicemente anche $1/root(4)(k)$ per k che tende a infinito tende a $0$ e dunque posso considerare solo questo?
2) Penso di aver risolto il limite e il risultato viene $2x^2$. Quindi applicando il criterio della radice per $2x^2<1$ la serie converge, e per $2x^2>1$ diverge?
Ciao,
ho fatto i calcoli ponendo $a_n$ sotto radice ennesima. A me il risultato viene $8x^2$; ho sbagliato da qualche parte?
Posso fare una domanda forse off-topic, ma che riguarda il limite del punto $2)$
percaso hai fatto:
$Lim ((2x^2)^n)*((n+2)/n)^n$
con $n->+oo$
Io non ho capito come hai calcolato: $(1+2/n)^n$
percaso hai fatto:
$Lim ((2x^2)^n)*((n+2)/n)^n$
con $n->+oo$
Io non ho capito come hai calcolato: $(1+2/n)^n$
@Faxi: prova a postare i passaggi così vediamo, se non so i passaggi non posso dirti se è giusto o sbagliato (e dove) 
@Clever: Il limite non è sulla successione, ma sulla sua radice ennesima... le potenze di $n$ le raccogli e si semplificano con la radice, e ti rimane solo $2x^2(n+2)/n$ che tende a $2x^2$
@Clever: Il limite non è sulla successione, ma sulla sua radice ennesima... le potenze di $n$ le raccogli e si semplificano con la radice, e ti rimane solo $2x^2(n+2)/n$ che tende a $2x^2$
"Gatto89":
@Faxi: prova a postare i passaggi così vediamo, se non so i passaggi non posso dirti se è giusto o sbagliato (e dove)
@Clever: Il limite non è sulla successione, ma sulla sua radice ennesima... le potenze di $n$ le raccogli e si semplificano con la radice, e ti rimane solo $2x^2(n+2)/n$ che tende a $2x^2$
No, ho sbagliato io!
E' $2x^2$ il risultato
grazie lo stesso
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