Dubbi sulle serie
Buongiorno ragazzi
A breve dovrò sostenere l'esame di Analisi Matematica I, esame scritto diviso in tre parti, due inerenti agli esercizi (serie ed equazioni differenziali) e una terza contenente quesiti di teoria (su tutto il programma).
Vorrei farvi alcune domande:
- Se verifichiamo la convergenza assoluta, la somma deve essere fatta sulla serie a moduli?
- Se ci riconduciamo ad una serie nota, dobbiamo comunque verificare la convergenza di questa, oppure passare direttamente al calcolo della somma della serie data all'inizio?
- Come svolgere una serie del tipo $ sum_(n = 0)^(+\infty)(-1)^n (3n^2 + 1) / (5n^2 + 2) $
Mi sono ricondotto alla serie a moduli, quindi ho visto che non converge assolutamente. Inoltre non potrei applicare il criterio di Leibniz, perché $\lim_{n \to \infty} b_n$ non tende a $0$
- Ho verificato, tramite il criterio di Leibniz, che la serie $ sum_(n = 0)^(+\infty)(-1)^n (n + 2) / (n^2 + 3) $
converge, ma come potrei calcolarne la somma?
Grazie in anticipo ragazzi
Spero in una vostra risposta
A breve dovrò sostenere l'esame di Analisi Matematica I, esame scritto diviso in tre parti, due inerenti agli esercizi (serie ed equazioni differenziali) e una terza contenente quesiti di teoria (su tutto il programma).
Vorrei farvi alcune domande:
- Se verifichiamo la convergenza assoluta, la somma deve essere fatta sulla serie a moduli?
- Se ci riconduciamo ad una serie nota, dobbiamo comunque verificare la convergenza di questa, oppure passare direttamente al calcolo della somma della serie data all'inizio?
- Come svolgere una serie del tipo $ sum_(n = 0)^(+\infty)(-1)^n (3n^2 + 1) / (5n^2 + 2) $
Mi sono ricondotto alla serie a moduli, quindi ho visto che non converge assolutamente. Inoltre non potrei applicare il criterio di Leibniz, perché $\lim_{n \to \infty} b_n$ non tende a $0$
- Ho verificato, tramite il criterio di Leibniz, che la serie $ sum_(n = 0)^(+\infty)(-1)^n (n + 2) / (n^2 + 3) $
converge, ma come potrei calcolarne la somma?
Grazie in anticipo ragazzi
Spero in una vostra risposta
Risposte
"_ROBERTO_":
- Come svolgere una serie del tipo E (-1)^n * (3n^2 + 1) / (5n^2 + 2)
n >= 0
Mi sono ricondotto alla serie a moduli, quindi ho visto che non converge assolutamente. Inoltre non potrei applicare il criterio di Leibniz, perché lim bn non tende a 0
n -> inf
- Ho verificato, tramite il criterio di Leibniz, che la serie E (-1)^n * (n+2)/(n^2 +3) converge, ma come potrei
n >= 0
calcolarne la somma?
la serie sarebbe questa? $ sum_(n = 0)^(+\infty)(-1)^n (3n^2 + 1) / (5n^2 + 2) $
si allora per prima cosa guarda la convergenza assoluta, se converge assolutamente allora converge anche semplicemente!..
questa serie il suo terimine generale $a_n=(3n^2 + 1) / (5n^2 + 2)$ assoutamente tende a $3/5$ per $n\to +\infty$ dunque NON converge assolutamente..
devi vedere se converge semplicemente con Leibniz..
poi perche' devi calcolare la somma? e' una richiesta dell'esercizio?
ps: per sapere come scrivere le formule/espressioni matematiche clicca qui
Ciao 55sarah
Riguardo la serie $ sum_(n = 0)^(+\infty)(-1)^n (3n^2 + 1) / (5n^2 + 2) $
$\lim_{n \to \infty}a_n$ tende a $3/5$, non a $0$, quindi non potrei applicare il c. di Leibniz. Giusto?
L'esercizio chiede, quando possibile, di calcolarne la somma.
La somma la possiamo calcolare quando ci riconduciamo a serie note, nel caso contrario si possono calcolare, magari con degli artifici? Potresti farmi qualche esempio?
Grazie mille
Riguardo la serie $ sum_(n = 0)^(+\infty)(-1)^n (3n^2 + 1) / (5n^2 + 2) $
$\lim_{n \to \infty}a_n$ tende a $3/5$, non a $0$, quindi non potrei applicare il c. di Leibniz. Giusto?
L'esercizio chiede, quando possibile, di calcolarne la somma.
La somma la possiamo calcolare quando ci riconduciamo a serie note, nel caso contrario si possono calcolare, magari con degli artifici? Potresti farmi qualche esempio?
Grazie mille
"_ROBERTO_":
La somma la possiamo calcolare quando ci riconduciamo a serie note, nel caso contrario si possono calcolare, magari con degli artifici? Potresti farmi qualche esempio?
Grazie mille
a questa domanda ti rispondo io..bé molte volte sì!.. più avanti vedrai sta cosa però $\sum_(n=1)^(+\infty)(1)/(n^2)=\pi^2/6$ "la dimostrazione la vedrete nei corsi più avanti" (aveva detto il mio prof di Analisi 1)
allora possiamo calcolare la somma di serie note, tipo le serie telescopiche!
un esempio di serie telescopica è questa $\sum_1 (1)/(n(n+1))$ chiamata serie di Mengoli.. questa serie converge e la sua somma vale 1.. delle serie telescopiche..rimane solamente il primo e l'ultimo termine!..
poi un altro esempio di serie che ho visto ad esercitazione che si calcolava la somma è stata questa
$\sum_(n=1)^(+\infty)\ln(1-(1)/(n^2))$
poi ho visto questa serie che si poteva calcolare la somma $\sum_1 (2/3)^n$ che questa è una serie geometrica di ragione $2/3$
per cui boh..prova a vedere se è telescopica la tua serie..
comunque poi si per applicare Leibniz, il termine deve essere infinitesimo..
Grazie 21zuclo!
Ad esempio non sapevo si potesse calcolare la somma della prima e della terza
Ad esempio non sapevo si potesse calcolare la somma della prima e della terza
"_ROBERTO_":
Grazie 21zuclo!
Ad esempio non sapevo si potesse calcolare la somma della prima e della terza
bé della prima $\sum_(n=1)^(+\infty)(1)/(n^2)=\pi^2/6$ come ti ho già detto, non l'ho vista neanche io la dimostrazione, il mio prof di Analisi 1, ci ha detto che la vedremo negli esami successivi.. da quello che ho capito, io ce l'ho in Analisi 2 (la devo ancora fare)
per il resto delle serie che ho scritto, tipo la serie di Mengoli, sono le serie telescopiche, clicca qui
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