Dubbi sulle proprietà caratteristiche di inf e sup

[giupar93]

Buongiorno ragazzi, sono alle prese con l'estremo inferiore e l'estremo superiore. Ho dei dubbi per quanto riguarda
1. Proprietà di completezza di Dedekind:
2. proprietà caratteristiche di inf e sup

allora, la 1 dice che: "Ogni insieme limitato superiormente ammette estremo superiore finito."

vale il viceversa? Cioè:
Ogni insieme limitato inferiormente ammette estremo inferiore finito.

2. Dai miei appunti ho scritto che:

Sia X limitato superiormente:
3. $x<=SupX AA x in X$ [cioè $SupX$ è maggiorante]
4. $AA epsilon>0 EE x_epsilon in X : x_epsilon>SupX-epsilon$

la 3 e la 4 è possibile attribuirla anche all' $InfX$ con le dovute modifiche?

Spero di essere stato chiaro, grazie mille anticipatamente e auguro a tutti voi Buone Feste.

[donald_zeka]

Certo che vale, coansidera l'insieme S limitato superiormente, esso per Dedekind ammette estremo superiore, se te consideri ora l'insieme -S degli opposti di S, esso è limitato inferiormente e l'estremo superiore diventa estremo inferiore, con le dovute modifiche a quelle proprietà che hai elencato.

[billyballo2123]

Innanzitutto precisiamo che stiamo parlando di sottoinsiemi di $\mathbb{R}$.
Ad ogni modo, la risposta è sì! Con le dovute modifiche, vale anche per l'estremo inferiore.

[giupar93]

@Vulplasir @billyballo2123 Grazie mille ad entrambi. Onde evitare errori, le dovute modifiche da apportare alla 3 e alla 4 sono:

$ x>=InfX∀x∈X $

$∀ε>0∃x_ε∈X:x_ε>InfX−ε$

giusto?

[billyballo2123]

No
$\forall \varepsilon>0 \exists x_{\varepsilon}\in X: x_{\varepsilon}

Cita

Segnala

[giupar93]

avevo dimenticato di cambiare la sottrazione in somma xD grazie millleee

[billyballo2123]

Figurati attento che devi anche cambiare il simbolo di maggiore con quello di minore