Dubbi sulle forme differenziali

[Chiar2]

Salve a tutti, avrei alcuni dubbi sulle forme differenziali, vi dico cosa ho capito, vorrei sapere se ho capito bene:

Una forma differenziale esatta ammette primitiva, inoltre l'integrale di tale forma su una curva chiusa, all'interno del dominio, è zero. Una forma differenziale esatta è anche chiusa, ma non vale il viceversa, quindi posso dire che se una forma differenziale non è chiusa, di sicuro non è esatta, ma se una forma differenziale è chiusa, non posso ancora dire che sia esatta. Se una forma differenziale è chiusa ed è definita in un connesso, allora tale forma è anche esatta, ma se è chiusa e non definita in un connesso, non posso ancora dire se sia esatta o meno, in tal caso dovrò calcolarne l'integrale su una curva chiusa nel dominio nella quale essa è definita. Infine, se una forma differenziale non è esatta, non posso calcolarne una primitiva, ma posso comunque calcolarne l'integrale definito su una curva qualsiasi.
E' corretto?

Vi ringrazio molto.

[Emar1]

Un connesso non è sufficiente, è necessario un insieme semplicemente connesso per dedurre l'esattezza dalla sola chiusura. Sono due concetti diversi.
Per capirci la corona circolare è un connesso ma non è semplicemente connesso dato che ha un buco.

A parte questo mi sembra ok

[Chiar2]

grazie mille!!

[Emar1]

Piccolo appunto:

in tal caso dovrò calcolarne l'integrale su una curva chiusa nel dominio nella quale essa è definita

Per capire se una forma chiusa è anche esatta, senza sfruttare la topologia del dominio, è necessario provare a costruirne la primitiva (o potenziale che a dir si voglia). Solitamente per farlo si fanno delle integrazioni, ma non per forza su una curva chiusa.

Prego