Dubbi sulla Serie di Taylor
1)La definizione della Serie di Taylor con il resto di Peano dice questo : Sia $f$ una funzione reale derivabile $n-1$ volte nell'intervallo $I$ ed $n$ volte nel punto $xo$ appartente a $]I[$.Il polinomio di grado al più n:
$T_n(x) = f(x_0) + \frac{df}{dx}(x_0) \cdot (x - x_0) + \frac{1}{2!} \frac{d^2 f}{dx^2}(x_0) \cdot (x - x_0)^2 + \ldots + \frac{1}{n!} \frac{d^n f}{dx^n}(x_0) \cdot (x - x_0)^n +o(x-xo)^n$
2)la definizione di Serie di Taylor con il resto di Lagrange dice questo : Sia $f$ una funzione reale derivabile $n+1$ volte nell'intervallo $I$ ed $xo$ appartente a $]I[$,allora per ogni $x$ appartentente a $I-xo$ esiste almeno un punto $c_x$, interno all'intervallo compatto di estremi $xo$ e $x$,tale che:
$T_n(x) = f(x_0) + \frac{df}{dx}(x_0) \cdot (x - x_0) + \frac{1}{2!} \frac{d^2 f}{dx^2}(x_0) \cdot (x - x_0)^2 + \ldots + \frac{1}{n!} \frac{d^n f}{dx^n}(x_0) \cdot (x - x_0)^n+\frac{1}{n+1!} \frac{d^(n+1) f}{dx^(n+1)}(c_x) \cdot (x - x_0)^(n+1)$
3)la mia domanda è questa perchè nella serie di taylor con il resto di peano la funzione $f$ è derivabile n-1 volte ed è derivabile n volte nel punto $xo$ ? mentre nela serie di taylor con il resto di lagrange la funzione $f$ è derivabile n+1 volte e la definizione non dice nemmeno nulla su xo ?Cioè guardando la formula della serie di Taylor con il resto di Peano direi che la funzine la $f$ è derivabile n volte sia nell'intervallo $I$ sia nel punto $xo$ (cosa alquanto sbagliata secondo la definizione del libro),mentre guardando la formula della serie di Taylor con il resto di Lagrange direi che la funzione $f$ è derivabile n+1 volte sia nell'intervallo $I$ sia nel punto $xo$ ma la definizione non dice nulla riguardo la xo
Sono alle prime armi con Analisi quindi se potete spiegate in modo elementare
$T_n(x) = f(x_0) + \frac{df}{dx}(x_0) \cdot (x - x_0) + \frac{1}{2!} \frac{d^2 f}{dx^2}(x_0) \cdot (x - x_0)^2 + \ldots + \frac{1}{n!} \frac{d^n f}{dx^n}(x_0) \cdot (x - x_0)^n +o(x-xo)^n$
2)la definizione di Serie di Taylor con il resto di Lagrange dice questo : Sia $f$ una funzione reale derivabile $n+1$ volte nell'intervallo $I$ ed $xo$ appartente a $]I[$,allora per ogni $x$ appartentente a $I-xo$ esiste almeno un punto $c_x$, interno all'intervallo compatto di estremi $xo$ e $x$,tale che:
$T_n(x) = f(x_0) + \frac{df}{dx}(x_0) \cdot (x - x_0) + \frac{1}{2!} \frac{d^2 f}{dx^2}(x_0) \cdot (x - x_0)^2 + \ldots + \frac{1}{n!} \frac{d^n f}{dx^n}(x_0) \cdot (x - x_0)^n+\frac{1}{n+1!} \frac{d^(n+1) f}{dx^(n+1)}(c_x) \cdot (x - x_0)^(n+1)$
3)la mia domanda è questa perchè nella serie di taylor con il resto di peano la funzione $f$ è derivabile n-1 volte ed è derivabile n volte nel punto $xo$ ? mentre nela serie di taylor con il resto di lagrange la funzione $f$ è derivabile n+1 volte e la definizione non dice nemmeno nulla su xo ?Cioè guardando la formula della serie di Taylor con il resto di Peano direi che la funzine la $f$ è derivabile n volte sia nell'intervallo $I$ sia nel punto $xo$ (cosa alquanto sbagliata secondo la definizione del libro),mentre guardando la formula della serie di Taylor con il resto di Lagrange direi che la funzione $f$ è derivabile n+1 volte sia nell'intervallo $I$ sia nel punto $xo$ ma la definizione non dice nulla riguardo la xo
Sono alle prime armi con Analisi quindi se potete spiegate in modo elementare
Risposte
Ti consiglio di riscrivere la domanda nel seguente modo:
1) Scrivi l'enunciato del teorema della formula di Taylor con resto di Peano esattamente (parola per parola, dall'inizio alla fine) come è scritto sul tuo libro.
2) Stessa cosa per il resto di Lagrange.
3) Esponi il tuo dubbio.
A me quello che hai scritto non sembra per nulla chiaro, e per questo ti chiedo di riportare integralmente ciò che c'è scritto sul tuo libro.
1) Scrivi l'enunciato del teorema della formula di Taylor con resto di Peano esattamente (parola per parola, dall'inizio alla fine) come è scritto sul tuo libro.
2) Stessa cosa per il resto di Lagrange.
3) Esponi il tuo dubbio.
A me quello che hai scritto non sembra per nulla chiaro, e per questo ti chiedo di riportare integralmente ciò che c'è scritto sul tuo libro.
Sono d'accordo che la domanda non è scritta molto bene, ma vorrei ugualmente dare una risposta generalista: non ti fissare troppo su queste minuzie, non sono molto importanti e ogni libro se le gira come gli pare. In pochi cercano di mettere le ipotesi minime possibili, per lo più ognuno scrive le ipotesi che gli risultano più comode per la dimostrazione.
A volte poi gli autori non ci fanno neanche attenzione e mettono ipotesi ridondanti: per esempio, secondo me non è proprio necessario che la funzione sia di classe \(C^k\) per avere un polinomio di Taylor di ordine \(k\). Basterebbe richiedere l'esistenza di \(k\) derivate, eventualmente non continue. Ma si tratta di un dettaglio talmente insignificante che non vale la pena di complicare l'enunciato tenendone traccia.
A volte poi gli autori non ci fanno neanche attenzione e mettono ipotesi ridondanti: per esempio, secondo me non è proprio necessario che la funzione sia di classe \(C^k\) per avere un polinomio di Taylor di ordine \(k\). Basterebbe richiedere l'esistenza di \(k\) derivate, eventualmente non continue. Ma si tratta di un dettaglio talmente insignificante che non vale la pena di complicare l'enunciato tenendone traccia.
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