Dubbi sulla risoluzione di integrali doppi.

[dadada12]

Ciao a tutti, tra qualche giorno ho l'esame di analisi 2 e ho ancora qualche dubbio sugli integrali doppi, spero che mi aiuterete a capirli
Ho il seguente esercizio risolto dalla mia professoressa (saltando molti passaggi):

[tex]\int \int_{D} \frac{1}{(x^2+y^2)^2} dxdy[/tex]

[tex]D=\left \{ (x,y) : x^2+y^2 \geq 2, x\geq 0) \right \}[/tex]

Per risolverlo passo a coordinate polari, ottenendo il dominio:

[tex]D=\left \{ (r,t) : r\geq \sqrt{2}, 0\leq t\leq \frac{\pi }{2} \right \}[/tex]

Risolvo quindi il seguente integrale (trasformato in coordinate polari):

[tex]\int_{\sqrt{2}}^{\propto }\int_{0}^{\frac{\pi }{2}} \frac{1}{r^4}r dtdr[/tex]

Vorrei chiedervi, come ha fatto ad ottenere nel dominio trasformato in coordinate polari che [tex]0\leq t\leq \frac{\pi }{2}[/tex] ??
Inoltre come ha fatto a determinare quei intervalli di definizione dell'integrale doppio??

Grazie mille!


EDIT: Chiedo scusa ma avevo sbagliato a scrivere l'integrale, ho corretto.

[Lo_zio_Tom]

"TeM":occorre risolvere il seguente sistema di disequazioni: \[ \begin{cases} \rho \ge 0 \\ 0 \le \theta < 2\pi \\ (\rho\,\cos\theta) \ge 0 \\ (\rho\,\cos\theta)^2 + (\rho\,\sin\theta)^2 \ge 2 \end{cases} \; \; \; \Leftrightarrow \; \; \; \begin{cases} \rho \ge \sqrt{2} \\ 0 \le \rho \le \frac{\pi}{2} \end{cases} \] ottenendo \[ D^* = \left\{ (\rho,\,\theta) \in \mathbb{R}^2 : \rho \ge \sqrt{2}, \; 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2} \right\} \; . \]

immagino che $00$)

PS: come già implicitamente evidenziato, l'integranda della prof. è sbagliata non è $1/r^4$

[dadada12]

Grazie mille per le risposte, ricontrollando bene l'esercizi mi sono accorto di aver sbagliato a scrivere il testo dell'integrale (ho corretto il primo post) chiedo scusa per la svista. L'integrale corretto è:

[tex]\int \int_{D} \frac{1}{(x^2+y^2)^2} dxdy[/tex]

Domani controllerò bene i passaggi perchè ora non ho tempo, ma a prima vista sembra essere abbastanza chiaro.

[dadada12]

Chiedo scusa per aver risposto così tardi ma mi sono dovuto preparere ad un altro esame più urgente.
La tua spiegazione è stata chiarissima, solo che non riesco a capire come hai fatto ad ottenere come risultato del sistema: \[ - \frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2} \; . \]

Grazie ancora una volta per il vostro preziosissimo aiuto!

[Lo_zio_Tom]

"davide12":solo che non riesco a capire come hai fatto ad ottenere come risultato del sistema: \[ - \frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2} \; . \]

guarda bene il sistema di disequazioni (che si ottiene semplicemente esprimendo le condizioni date dal testo in coordinate polari) e ricorda che, essendo un sistema, esse devono essere TUTTE soddisfatte contemporaneamente

una di queste è la seguente:

$rhocostheta>0$ ovvero $costheta>0$

così è più chiaro?

[dadada12]

si grazie mille, ora ho capito!

EDIT: scusami ma mi è sfuggita una cosa: negli altri esercizi su integrali doppi vedo che ad un certo punto viene scritta la matrice jacobiana cambiata in coordinate polari e il risultato è messo all'interno dell'integrale cambiato di coordinate. Quando devo usare questa matrice? Come faccio ad ottenerla?

[Lo_zio_Tom]

Cerco faticosamente di interpretare la tua richiesta: il "risultato" della matrice jacobiana è il DETERMINANTE della suddetta matrice. La matrice invece la calcoli facendo tutte le derivate parziali. Tale determinante si inserisce nell' integrale ogni volta che operi un cambio di variabili e va ricalcolato di volta in volta. Fortunatamente nel caso di cambiamento di variabili in coordinate polari questo detJ è noto e vale esattamente $ rho $. Se controlli lo abbiamo inserito anche stavolta. Se ci pensi bene è lo stesso concetto che applichi con gli integrali ad una variabile quando fai una sostituzione. ...anche lì se poni $ f (x)=t $ vai a sostituire $ dt $ al posto del tuo $ f'(x ) dx $. Solo che nel caso bivariato non avrai $ f' (x ) $ ma il determinante della matrice di tutte le derivate parziali. Spero di essermi spiegato. ....

[dadada12]

Ripassando gli argomenti dell'esame che avrò tra un paio di giorni mi è venuto un gran bel dubbio: risolvendo gli integrali doppi per sostituzione non riesco a capire come ottenere la sostituzione del dominio nelle nuove coordinate che non siamo polari. Ad esempio ho il seguente esercizio:

[tex]\iint x^2(y-2x^3)e^{y+2x^3}dxdy[/tex]

[tex]D=\left \{ (x,y)\epsilon \Re ^2 , 2x^3\leq y\leq 3,2x^3\geq 1 \right \}[/tex]

Devo risolverlo applicando la seguente trasformazione:

[tex]\left\{\begin{matrix}u=y-2x^3\\ v=y+2x^3\end{matrix}\right.[/tex]

Trovo la matrice Jacobiana, che viene fuori essere: [tex]\left | J \right | =12x^2[/tex]

A questo punto dovrei effettuare un cambiamento di variabili sia del dominio che dell'integrale, ma non mi è molto chiaro come dovrei procedere. Potreste aiutarmi anche in questo caso?
Grazie!

[dadada12]

Grazie per aver risposto, sei stato molto chiaro ma mi rimane ancora un dubbio: come hai fatto a calcolarti il nuovo dominio del sistema inverso,cioè:

[tex]{per} \; (u,\,v) \in [0,\,2] \times [2+u,\,6-u][/tex]

[dadada12]

Grazie mille, tutto chiaro ora!