Dubbi sulla monotonia
Data la funzione:
$f(x)=e^((x-1)/(x+1))$
i)dire, motivando la risposta, se è monotona nel suo insieme di definizione;
ii)provare che $f(x)$ è invertibile in $(-1,+oo)$ e determinare l'espressione analitica della funzione inversa $g(x)$;
iii)calcolare $g'(1)$;
iv)determinare il campo di esistenza della funzione $g(e^t-1)$
Il dominio della funzione data è: $(-oo,-1) \ uu \ (-1,+oo)$
Per provare se è monotona nel suo insieme di definizione basta eseguire la derivata prima è vedere se essa nell'intervallo in esame è monotona ovvero strettamente crescente o strettamente descrescente. La derivata prima è: $f^{\prime}(x)=e^((x-1)/(x+1))*2/(x+1)^2$ che risulta strettamente crescente per ogni $x in RR$. Il mio dubbio è il seguente: l'insieme di def. è $(-oo,-1) \ uu \ (-1,+oo)$ e la derivata prima risulta monotona per ogni $x in RR$. Quindi essa è o non è monotona nell'insieme di def. dato che in $-1$ non è def. la funzione?
Invece gli altri quesiti li posto qualora fossero utili a qualcuno:
ii) la $f(x)$ è invertibile in $(-1,+oo)$ dato che nell'intervallo è strettamente crescente. L'espressione analitica della funzione inversa è: $g(x)=(x+1)logx + 1$
iii)$g^{\prime}(x)=logx+(x+1)1/x$ $g^{\prime}(1)=2$
iv)$g(e^t-1)=e^tlog(e^t-1)+1$ essa è verificata per $t>=1$
Qualora qualcosa fosse errata correggettemi pure
$f(x)=e^((x-1)/(x+1))$
i)dire, motivando la risposta, se è monotona nel suo insieme di definizione;
ii)provare che $f(x)$ è invertibile in $(-1,+oo)$ e determinare l'espressione analitica della funzione inversa $g(x)$;
iii)calcolare $g'(1)$;
iv)determinare il campo di esistenza della funzione $g(e^t-1)$
Il dominio della funzione data è: $(-oo,-1) \ uu \ (-1,+oo)$
Per provare se è monotona nel suo insieme di definizione basta eseguire la derivata prima è vedere se essa nell'intervallo in esame è monotona ovvero strettamente crescente o strettamente descrescente. La derivata prima è: $f^{\prime}(x)=e^((x-1)/(x+1))*2/(x+1)^2$ che risulta strettamente crescente per ogni $x in RR$. Il mio dubbio è il seguente: l'insieme di def. è $(-oo,-1) \ uu \ (-1,+oo)$ e la derivata prima risulta monotona per ogni $x in RR$. Quindi essa è o non è monotona nell'insieme di def. dato che in $-1$ non è def. la funzione?
Invece gli altri quesiti li posto qualora fossero utili a qualcuno:
ii) la $f(x)$ è invertibile in $(-1,+oo)$ dato che nell'intervallo è strettamente crescente. L'espressione analitica della funzione inversa è: $g(x)=(x+1)logx + 1$
iii)$g^{\prime}(x)=logx+(x+1)1/x$ $g^{\prime}(1)=2$
iv)$g(e^t-1)=e^tlog(e^t-1)+1$ essa è verificata per $t>=1$
Qualora qualcosa fosse errata correggettemi pure
Risposte
A te serve sapere che $f'(x)>0$ oppure $f'(x)<0$, $AA x in D$ dove con D intendo il dominio della funzione.
Ora se la disequazione che ti interessa è soddisfatta $AA x in R$ siccome $D sub R$ allora sarà anche soddisfatta $AA x in D$
Ps. Spero di essere stata chiara..
Ora se la disequazione che ti interessa è soddisfatta $AA x in R$ siccome $D sub R$ allora sarà anche soddisfatta $AA x in D$
Ps. Spero di essere stata chiara..
"leena":
A te serve sapere che $f'(x)>0$ oppure $f'(x)<0$, $AA x in D$ dove con D intendo il dominio della funzione.
Ora se la disequazione che ti interessa è soddisfatta $AA x in R$ siccome $D sub R$ allora sarà anche soddisfatta $AA x in D$
Ps. Spero di essere stata chiara..
Si si chiarissima come acqua di fonte.Ti ringrazio
Figurati 
"mazzy89":
La derivata prima è: $f'(x)=e^((x-1)/(x+1))*2/(x+1)^2$ che risulta strettamente crescente (*) per ogni $x in RR$(*).
(*) Forse intendevi positiva
(*): La derivata prima non è ben definita in tutto $RR$
"Mathematico":
[quote="mazzy89"]
La derivata prima è: $f'(x)=e^((x-1)/(x+1))*2/(x+1)^2$ che risulta strettamente crescente (*) per ogni $x in RR$(*).
(*) Forse intendevi positiva
(*): La derivata prima non è ben definita in tutto $RR$[/quote]
Ops si intendevo positiva.
La derivata prima è positiva per $(-oo,-1) \ uu \ (-1,+oo)$
"mazzy89":
Ops si intendevo positiva.
La derivata prima è positiva per $(-oo,1) \ uu \ (1,+oo)$
Attento
. Mi sa che il giorno dell'esame è vicino, m sembri sconcentrato 
. Non preoccuparti troppo e soprattutto sangue freddo ,ok? 
"Mathematico":
[quote="mazzy89"]
Ops si intendevo positiva.
La derivata prima è positiva per $(-oo,1) \ uu \ (1,+oo)$
Attento
. Mi sa che il giorno dell'esame è vicino, m sembri sconcentrato . Non preoccuparti troppo e soprattutto sangue freddo ,ok? [/quote]E si più che sconcentrato butto di getto le idee sul foglio e non sempre ciò che mi esce è giusto.si ti ringrazio tanto.
Mi pare che abbiate dedotto che la funzione è monotona crescente nel suo insieme di definizione, guardate che è sbagliato, altrimenti non sarebbe spiegabile il fatto che $f(-2)>f(0)$
"@melia":
Mi pare che abbiate dedotto che la funzione è monotona crescente nel suo insieme di definizione, guardate che è sbagliato, altrimenti non sarebbe spiegabile il fatto che $f(-2)>f(0)$
Ma la derivata prima della funzione risulta positiva nell'insieme $(-oo,-1) uu (-1,+oo)$
Ma il teorema sulla crescenza delle funzioni con derivata prima $>=0$ vale negli intervalli... E $]-oo,-1[\cup]-1,+oo[$ non è un intervallo.
"Gugo82":
Ma il teorema sulla crescenza delle funzioni con derivata prima $>=0$ vale negli intervalli... E $]-oo,-1[\cup]-1,+oo[$ non è un intervallo.
Quindi la funzione non è monotona nell'insieme di definzione perchè l'insieme di defizione non è un'intervallo
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo